Question

如图，在四边形ABEC中，对角线BC，AE交于点D，已知AC=AB，CE=BE，试说明AE垂直平分BC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：方法一：先利用SSS证明△ACE≌△ABE，得出∠CAE=∠BAE，然后在△ABC中根据等腰三角形三线合一的性质证明AD垂直平分BC，即AE垂直平分BC．
方法二：先由AC=AB，CE=BE，根据线段垂直平分线的判定得到A、E均在BC的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线，即可证明AE垂直平分BC．

解答：证明：方法一：
在△ACE与△ABE中，

AC=AB CE=BE AE=AE

，
∴△ACE≌△ABE（SSS），
∴∠CAE=∠BAE，
又∵AC=AB，
∴AD⊥BC，BD=DC，即AD垂直平分BC，
∴AE垂直平分BC．
方法二：∵AC=AB，CE=BE，
∴A、E均在BC的垂直平分线上，
又∵两点确定一条直线，
∴AE垂直平分BC．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，得出∠CAE=∠BAE是解题的关键．本题也可以利用线段垂直平分线的判定及直线的性质公理进行证明．