Question

6．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上．
（1）如图1，点A与点C关于y轴对称，点E、F分别是线段AC、AB上的点（点E不与点A、C重合），且∠BEF=∠BAO．若∠BAO=2∠OBE，求证：AF=CE；
（2）如图2，若OA=OB，在点A处有一等腰△AMN绕点A旋转，且AM=MN，∠AMN=90°．连接BN，点P为BN的中点，试猜想OP和MP的数量关系和位置关系，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设∠OBE=α，∠AEF=β，证明∠EBC=∠AEF，EB=EF，进而可以证明△AEF和△CBE（AAS），利用全等三角形的对应边相等，即可解答；
（2）OP=MP且OP⊥MP，延长MP至C，且使PC=MP，连接BC、MO，延长AM交BC于D，连接CO，NO，证明△MPN≌△CPB（SAS），得到BC=MN=AM，∠MNP=∠CBP，再证明△MOC为等腰直角三角形，根据MP=CP，即可得到OP⊥MP且OP=MP．

解答 证明：（1）如图1，

设∠OBE=α，∠AEF=β，
∴∠BAO=∠BEF=2α，
∵点A、C关于y轴对称，
∴BA=BC，
∴∠BAO=∠BCO=2α
∵∠AEB=2α+β=∠BCO+∠EBC
∴∠EBC=β，
即∠EBC=∠AEF
∵∠BFE=∠BAO+∠FEA=2α+β
又∠ABO=∠CBO=α+β
∴∠FBE=α+β+α=2α+β
∴∠BFE=∠FBE
∴EB=EF，
在△AEF和△CBE中$\left\{\begin{array}{l}∠AEF=∠CBE\\∠FAE=∠ECB\\ EF=BE\end{array}\right.$
∴△AEF≌△CBE（AAS）
∴AF=CE
（2）OP=MP且OP⊥MP，
理由如下：
延长MP至C，且使PC=MP，连接BC、MO，延长AM交BC于D，连接CO，NO，

∵点P为BN的中点，
∴PN=PB，
在△MPN和△CPB中
$\left\{\begin{array}{l}MP=CP\\∠MPN=∠CPB\\ PN=PB\end{array}\right.$
∴△MPN≌△CPB（SAS）
∴BC=MN=AM，∠MNP=∠CBP，
∴MN∥BC，
∵∠AMN=90°
∴AD⊥BC，
∴∠MAO=∠CBO，
∴∠MOA=∠COB，MO=CO，
∴∠MOC=∠MOB+∠BOC=∠MOB+∠MOA=∠AOB=90°
∴△MOC为等腰直角三角形，
∵MP=CP，
∴OP⊥MP且OP=MP．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，等腰三角形的性质、直角三角形的性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．