Question

【题目】如图，抛物线y＝－x2－2x＋3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）在(2)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若， 求点F的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由抛物线 可知，C（0，3），令y=0，则 ，解得x=﹣3或x=1，∴A（﹣3，0），B（1，0）

（2）解：由抛物线 可知，对称轴为x=﹣1，设M点的横坐标为m，则PM= ，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（ ）×2= = ，

∴当m=﹣2时矩形的周长最大．

∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC解析式为y=kx+b，解得k=1，b=3，

∴解析式y=x+3，当x=﹣2时，则E（﹣2，1），

∴EM=1，AM=1，

∴S= AMEM=

（3）解：∵M点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，∴N应与原点重合，Q点与C点重合，∴DQ=DC，把x=﹣1代入 ，解得y=4，∴D（﹣1，4），∴DQ=DC= ，∵FG= DQ，∴FG=4，设F（n， ），则G（n，n+3），∵点G在点F的上方，∴ =4，解得：n=﹣4或n=1，∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）

【解析】（1）由抛物线解析式，得到C点坐标，由抛物线y＝－x2－2x＋3的图象与x轴交于A、B两点，求出A、B两点的坐标；（2）由抛物线的解析式求出称轴，求出矩形PMNQ的周长的值，由A、C的坐标，求出AC的解析式，求出△AEM的面积；（3）根据题意得到N应与原点重合，Q点与C点重合，得到DQ=DC，由点G在点F的上方，得到二次方程，求出点F的坐标；此题是综合题，难度较大，计算和解方程时需认真仔细.