Question

9．如图，沿长方形ABCD的对角线AC对折，点B落在点E上，AE与CD交于F点，
（1）试探求△AFC的形状，并说明理由．
（2）若AD=5，AB=13，求△AFD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据长方形性质得出∠D=90°，AD=BC，AB=DC=8cm，根据折叠的性质得出∠D=∠E=90°，CE=BC=AD，根据全等三角形的判定，得出△ADF≌△CEF即可得到结论；
（2）先设DF=x，得出CF=13-x=AF，再根据勾股定理，在Rt△ADF中，列出方程5²+x²=（13-x）²，求得x的值，最后计算△AFD的面积．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=90°，AD=BC，AB=DC=8cm，
∵将△ABC沿着对角线AC折叠，使点B落在E处，AE交CD于F点，
∴∠D=∠E=90°，CE=BC=AD，
在△ADF和△CEF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠E}\\{∠DFA=∠EFC}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CEF（AAS），
∴AF=CF，
∴△ACF是等腰三角形；

（2）设DF=x，则CF=13-x=AF，
∵∠D=90°，
∴Rt△ADF中，AD²+DF²=AF²，
∴5²+x²=（13-x）²，
解得x=$\frac{72}{13}$，
∴DF=$\frac{72}{13}$，
∴△AFD的面积=$\frac{1}{2}$×AD×DF=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{72}{13}$=$\frac{180}{13}$．

点评 本题考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定以及勾股定理的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．