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【题目】如图,直线l:y=x+m与x轴交于A点,且经过点B(,2).已知抛物线C:y=ax2+bx+9与x轴只有一个公共点,恰为A点.

(1)求m的值及BAO的度数;

(2)求抛物线C的函数表达式;

(3)将抛物线C沿x轴左右平移,记平移后的抛物线为C1,其顶点为P.

平移后,将PAB沿直线AB翻折得到DAB,点D能否落在抛物线C1上?

如能,求出此时顶点P的坐标;如不能,说明理由.

【答案】(1)m=3,BAO=30°;(2)y=(x+32;(3)能,P的坐标为(21,0).

【解析】

试题分析:(1)将B的坐标代入直线l的解析式即可求出m的值,求出直线l的解析式后,设直线l与y轴交于点C,求出C的坐标后利用锐角三角函数即可求出BAO的度数;(2)由题意知:抛物线必定过(0,9),抛物线与x轴只有一个公共点A,即A点是抛物线的顶点,所以可以设抛物线的顶点式y=a(x+32,将(0,9)代入顶点式即可求出a的值;(3)设P的坐标为(h,0),由题意知,点P不能在A的左侧,所以点P在A的右侧,由于点P与D关于AB对称,且点D的坐标在抛物线C1上,所以求出D的坐标后,代入抛物线C1的解析式即可求出h的值.

试题解析:(1)把B(,2)代入y=x+m,2=1+m,m=3,直线l的解析式为y=x+3,设直线l与y轴交于点C,令x=0代入y=x+3,y=3,C的坐标为(0,3),令y=0代入y=x+3,x=3A的坐标为(3,0),OC=3,OA=3tanBAO==∴∠BAO=30°;(2)令x=0代入y=ax2+bx+9,y=9,抛物线C经过(0,9),又抛物线C与x轴只有一个公共点,恰为A点,A点是抛物线C的顶点,设抛物线的顶点式为y=a(x+32,把(0,9)代入y=a(x+32a=抛物线C的解析式为y=(x+32;(3)设抛物线C1的解析式为y=(xh)2,当点P在A的左侧时,点D一定不在抛物线C1上,此情况不符合题意,当点P在A的右侧时,此时,P(h,0)AP=h+3,由对称性可知:AD=AP=h+3DAB=PAB=30°,过点D作DEx轴于点E,AE=AD=,DE=AE=D的坐标为(),把D()代入y=(xh)2=2h=21或h=3,当h=3时,此时P与A重合,此情况不合题意,综上所述,P的坐标为(21,0).

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(1)连接AE,求证:AEF是等腰三角形;

猜想与发现:

(2)在(1)的条件下,请判断MD、MN的数量关系和位置关系,得出结论.

结论1:DM、MN的数量关系是

结论2:DM、MN的位置关系是

拓展与探究:

(3)如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变,则(2)中的两个结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.

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