【题目】如图,直线l:y=x+m与x轴交于A点,且经过点B(﹣,2).已知抛物线C:y=ax2+bx+9与x轴只有一个公共点,恰为A点.
(1)求m的值及∠BAO的度数;
(2)求抛物线C的函数表达式;
(3)将抛物线C沿x轴左右平移,记平移后的抛物线为C1,其顶点为P.
平移后,将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB,点D能否落在抛物线C1上?
如能,求出此时顶点P的坐标;如不能,说明理由.
【答案】(1)m=3,∠BAO=30°;(2)y=(x+3)2;(3)能,P的坐标为(21,0).
【解析】
试题分析:(1)将B的坐标代入直线l的解析式即可求出m的值,求出直线l的解析式后,设直线l与y轴交于点C,求出C的坐标后利用锐角三角函数即可求出∠BAO的度数;(2)由题意知:抛物线必定过(0,9),抛物线与x轴只有一个公共点A,即A点是抛物线的顶点,所以可以设抛物线的顶点式y=a(x+3)2,将(0,9)代入顶点式即可求出a的值;(3)设P的坐标为(h,0),由题意知,点P不能在A的左侧,所以点P在A的右侧,由于点P与D关于AB对称,且点D的坐标在抛物线C1上,所以求出D的坐标后,代入抛物线C1的解析式即可求出h的值.
试题解析:(1)把B(﹣,2)代入y=x+m,∴2=﹣1+m,∴m=3,∴直线l的解析式为y=x+3,设直线l与y轴交于点C,令x=0代入y=x+3,∴y=3,∴C的坐标为(0,3),令y=0代入y=x+3,∴x=﹣3,∴A的坐标为(﹣3,0),∴OC=3,OA=3,∴tan∠BAO==,∴∠BAO=30°;(2)令x=0代入y=ax2+bx+9,∴y=9,∴抛物线C经过(0,9),又∵抛物线C与x轴只有一个公共点,恰为A点,∴A点是抛物线C的顶点,设抛物线的顶点式为y=a(x+3)2,把(0,9)代入y=a(x+3)2,∴a=,∴抛物线C的解析式为y=(x+3)2;(3)设抛物线C1的解析式为y=(x﹣h)2,当点P在A的左侧时,点D一定不在抛物线C1上,此情况不符合题意,当点P在A的右侧时,此时,P(h,0)∴AP=h+3,由对称性可知:AD=AP=h+3,∠DAB=∠PAB=30°,过点D作DE⊥x轴于点E,∴AE=AD=,DE=AE=,∴D的坐标为(,),把D(,)代入y=(x﹣h)2,∴=()2,∴h=21或h=﹣3,当h=﹣3时,此时P与A重合,此情况不合题意,综上所述,P的坐标为(21,0).
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【题目】操作与证明:如图1,把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合,点E、F分别在正方形的边CB、CD上,连接AF.取AF中点M,EF的中点N,连接MD、MN.
(1)连接AE,求证:△AEF是等腰三角形;
猜想与发现:
(2)在(1)的条件下,请判断MD、MN的数量关系和位置关系,得出结论.
结论1:DM、MN的数量关系是 ;
结论2:DM、MN的位置关系是 ;
拓展与探究:
(3)如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变,则(2)中的两个结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
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【题目】计算题
(1)(﹣1)2012+(π﹣3.14)0﹣(﹣ )﹣1
(2)化简求值:(2x+y)2﹣(2x﹣y)(x+y)﹣2(x﹣2y)(x+2y),其中x= ,y=﹣2.
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【题目】一小球被抛出后,距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下列函数解析式:h=﹣3(t﹣2)2+5,则小球距离地面的最大高度是( )
A.2米
B.3米
C.5米
D.6米
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【题目】甲、乙两组同时加工某种零件,乙组工作中有一次停产更换设备,更换设备后,乙组的工作效率是原来的2倍.两组各自加工零件的数量(件)与时间(时)的函数图象如图所示.
(1)求甲组加工零件的数量y与时间之间的函数关系式.
(2)求乙组加工零件总量的值.
(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱,每够300件装一箱,零件装箱的时间忽略不计,求经过多长时间恰好装满第1箱?再经过多长时间恰好装满第2箱?
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【题目】如图所示,圆柱的高是4厘米,当圆柱底面半径r(cm)变化时,圆柱的体积V(cm3)也随之变化.
(1)在这个变化过程中,自变量是 , 因变量是 .
(2)圆柱的体积V与底面半径r的关系式是 .
(3)当圆柱的底面半径由2变化到8时,圆柱的体积由cm3变化到cm3 .
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,动点E从点A出发,以每秒2个单位的速度沿A→D→A运动,动点G从点A出发,以每秒1个单位的速度沿A→B运动,当有一个点到达终点时,另一点随之也停止运动.过点G作FG⊥AB交AC于点F.设运动时间为t(单位:秒).以FG为一直角边向右作等腰直角三角形FGH,△FGH与正方形ABCD重叠部分的面积为S.
(1)当t=1.5时,S=________;当t=3时,S=________.
(2)设DE=y1,AG=y2,在如图所示的网格坐标系中,画出y1与y2关于t的函数图象.并求当t为何值时,四边形DEGF是平行四边形?
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