Question

【题目】如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP＝60°，PA＝PD．

（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若点C是弧AB的中点，已知AB＝2，求CECP的值．

Answer 1

【答案】（1）PD是⊙O的切线，理由见解析；（2）2

【解析】

（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP＝2∠ACP＝120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD＝90°，从而证明PD是⊙O的切线；

（2）连结BC，首先求出∠CAB＝∠ABC＝∠APC＝45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CECP的值．

解：（1）如图，PD是⊙O的切线．

理由如下：

连结OP，

∵∠ACP＝60°，

∴∠AOP＝120°，

∵OA＝OP，

∴∠OAP＝∠OPA＝30°，

∵PA＝PD，

∴∠PAO＝∠D＝30°，

∴∠OPD＝90°，

∴PD是⊙O的切线．

（2）连结BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

又∵C为弧AB的中点，

∴∠CAB＝∠ABC＝∠APC＝45°，

∵AB＝2，AC＝ABsin45°＝，

∵∠C＝∠C，∠CAB＝∠APC，

∴△CAE∽△CPA，

∴

∴＝2．