【题目】如图,以AB边为直径的⊙O经过点P,C是⊙O上一点,连结PC交AB于点E,且∠ACP=60°,PA=PD.
(1)试判断PD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若点C是弧AB的中点,已知AB=2,求CECP的值.
【答案】(1)PD是⊙O的切线,理由见解析;(2)2
【解析】
(1)连结OP,根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°,然后计算出∠PAD和∠D的度数,进而可得∠OPD=90°,从而证明PD是⊙O的切线;
(2)连结BC,首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°,然后可得AC长,再证明△CAE∽△CPA,进而可得,然后可得CECP的值.
解:(1)如图,PD是⊙O的切线.
理由如下:
连结OP,
∵∠ACP=60°,
∴∠AOP=120°,
∵OA=OP,
∴∠OAP=∠OPA=30°,
∵PA=PD,
∴∠PAO=∠D=30°,
∴∠OPD=90°,
∴PD是⊙O的切线.
(2)连结BC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
又∵C为弧AB的中点,
∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°,
∵AB=2,AC=ABsin45°=,
∵∠C=∠C,∠CAB=∠APC,
∴△CAE∽△CPA,
∴
∴=2.
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【题目】周末,小明匀速步行去省图书馆看书,当出发15min后距家1800m时,爸爸驾车匀速从家沿相同路线追赶小明,追上小明后,二人驾车继续按原速前行到达图书馆,小明留在图书馆看书,爸爸驾车继续按原速去单位办事设小明与爸爸之间的路程y(m)与小明出发的时间x(min)之间的函数图象如图所示.
(1)小明步行速度是 m/min,爸爸驾车速度是 m/min;
(2)当爸爸从省图书馆到单位时,求y与x之间的函数关系式;
(3)当爸爸与省图书馆之间的路程为2160m时,直接写出爸爸驾车行驶的时间.
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【题目】列方程或方程组解应用题:
去年暑期,某地由于暴雨导致电路中断,该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发,10分钟后,电工乘吉普车从同一地点出发,结果他们同时到达抢修工地.已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍,求吉普车的速度.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数的图象交于点C(n,3),与x轴、y轴分别交于点A、B,过点C作CM⊥x轴,垂足为M.若
,OA=2.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)当kx+b﹣>0时,求x的取值范围.
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【题目】请阅读下列解题过程:
解一元二次不等式:x2-3x>0.
解:x(x-3)>0,
∴或
,
解得x>3或x<0.
∴一元二次不等式x2-3x>0的解集为x<0或x>3.
结合上述解题过程回答下列问题:
(1)上述解题过程渗透的数学思想为 ;
(2)一元二次不等式x2-3x<0的解集为 ;
(3)请用类似的方法解一元二次不等式:x2-2x-3<0.
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【题目】如图,BD为△ABC外接圆⊙O的直径,且∠BAE=∠C.
(1)求证:AE与⊙O相切于点A;
(2)若AE∥BC,BC=2,AC=2
,求AD的长.
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【题目】△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为顶点作∠MDN=∠B,
(1)如图(1)当射线DN经过点A时,DM交AC边于点E,不添加辅助线,写出图中所有与△ADE相似的三角形.
(2)如图(2),将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转,DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点(点E与点A不重合),不添加辅助线,写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论.
(3)在图(2)中,若AB=AC=10,BC=12,当△DEF的面积等于△ABC的面积的时,求线段EF的长.
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【题目】某校九年级甲、乙两班各有学生50人,为了了解这两个班学生身体素质情况,进行了抽样调查,数据整理过程如下,请完成下面数据整理中的问题:
(1)收集数据
从甲、乙两个班中各随机抽取10名学生进行身体素质测试,测试成绩(百分制)如下:
甲班:65,75,75,80,60,50,75,90,85,65;
乙班:90,55,80,70,55,70,95,80,65,70;
(2)整理描述数据
按如下分数段整理、描述这两组样本数据:
成绩x 人数 班级 | 50≤x<60 | 60≤x<70 | 70≤x<80 | 80≤x<90 | 90≤x<100 |
甲班 | 1 | 3 | 3 | 2 | 1 |
乙班 | 2 | 1 | m | 2 | n |
在表中:m= ,n= ;
(3)分析数据
①若规定测试成绩在80分(含80分)以上的学生身体素质为优秀,请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有 人;
②现从甲班指定的3名学生(1男2女),乙班指定的2名学生(1男1女)中分别抽取1名学生去参加身体素质拓展训练,用树状图或列表法求出抽到的2名同学中恰好是1男1女的概率.
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