【题目】在四边形中,,对角线交于点平分,延长至点,使,连接.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)若,求的长.
【答案】(1)见解析;(2)OE=.
【解析】
(1)由一组对边平行且相等证明四边形ABCD是平行四边形,根据平行线的性质以及角平分线的定义得出∠ABD=∠ADB,从而得到AB=AD,根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明;
(2)先证明△ABD是等边三角形,得到∠ADB=60°,根据菱形的性质以及DE=BO,证明DE=DO,从而得到∠E=∠EOD=30°,OE=OA,再利用含30°直角三角形的性质以及勾股定理即可解答.
(1)证明:∵,
∴四边形ABCD是平行四边形,∠ADB=∠CBD,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD,
∴平行四边形ABCD是菱形.
(2)∵AB=AD,∠DAB=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠ADB=60°,
∴∠E+∠EOD=60°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠DAC=30°,OD=OB,AC⊥BD,
∵DE=BO,
∴DE=DO,
∴∠E=∠EOD=30°,
∴∠E=∠DAC,
∴OE=OA,
在Rt△AOD中,AD=4,∠DAO=30°,
∴DO=2,AO=,
∴OE=.
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【题目】某年级共有300名学生.为了解该年级学生A,B两门课程的学习情况,从中随机抽取60名学生进行测试,获得了他们的成绩(百分制),并对数据(成绩)进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
.A课程成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组:,,,,,);
.A课程成绩在这一组是:
70 71 71 71 76 76 77 78 79 79 79
.A,B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下:
课程 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
A | |||
B | 70 | 83 |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出表中的值;
(2)在此次测试中,某学生的A课程成绩为76分,B课程成绩为71分,这名学生成绩排名更靠前的课程是________(填“A”或“B”),理由是_______;
(3)假设该年级学生都参加此次测试,估计A课程成绩超过分的人数.
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【题目】如图,已知AB、AD是⊙O的弦,点C是DO的延长线与弦AB的交点,∠ABO=30°,OB=2.
(1)求弦AB的长;
(2)若∠D=20°,求∠BOD的度数.
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【题目】如图1所示在平面直角坐标系中,有长方形OABC,O是坐标原点,A(a,0),C(0,b),且a,b满足
(1)求A,B,C三点坐标;
(2)如图2所示,长方形对角线OB、AC交于D点,若有一点P从A点出发,以1单位/秒速度向x轴负方向匀速运动,同时另一点Q从O出发,以2个单位/秒,沿长方形边长O-C-B顺时针匀速运动,当Q到达B点时P、Q同时停止运动,设P点开始运动时间为t,请问:当t为何值时有S△OCP≤S△ODQ ?
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【题目】2019年3月31日,2019长安汽车重庆国际马拉松赛在南滨路鸣枪开跑,小育和小才参加了此次比赛,小育在跑出小时后不慎摔倒,志愿者将小育扶到路旁处理伤口,休息了分钟后决定再次出发,在小育出发小时后小才追上小育,如图所示是两人离开出发地的距离(公里)和出发时间(小时)之间的函数图象.当小才到达终点时,小育距离终点____公里.
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【题目】已知关于x的方程x2﹣2(k﹣1)x+k2=0有两个实数根x1 , x2 .
(1)求k的取值范围;
(2)若|x1+x2|=x1x2﹣1,求k的值.
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【题目】已知:如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于4cm2?
(2)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ中PQ的长度等于5cm?
(3)在(1)中,当P,Q出发几秒时,△PBQ有最大面积?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(﹣2,2),B(﹣3,﹣2)(每个小正方形的边长均为1).
(1)若点D与点A关于y轴对称则点D的坐标为 .
(2)将点B向右平移5个单位,再向上平移2个单位得到点C,则点C的坐标为 .
(3)请在图中表示出D、C两点,顺次连接ABCD,并求出A、B、C、D组成的四边形ABCD的面积.
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【题目】在平面直角坐标系中,将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”,如(﹣3,5)与(5,﹣3)是一对“互换点”.
(1)任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上?为什么?
(2)M、N是一对“互换点”,若点M的坐标为(m,n),求直线MN的表达式(用含m、n的代数式表示);
(3)在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B,其中点A在反比例函数y=﹣ 的图象上,直线AB经过点P( , ),求此抛物线的表达式.
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