Question

1．如图，在正方形ABcD中，M为AB中点，连结DM并延长DM到N，使NA²=NM•ND．
（1）求证：$\frac{MN}{MD}$=$\frac{1}{3}$；
（2）设直线BN分别与直线DA、DC交于点P和点Q，连结AQ交BC于E，连结PM．求证：△BMP≌△BEQ．

Answer 1

分析 （1）作NH⊥AB于H，先证明△ADM∽△HNM得$\frac{NH}{MH}$=$\frac{AD}{AM}$=2，设MH=a，HN=2a，再证明△HNM∽△HAN得到$\frac{HN}{AH}$=$\frac{MH}{HN}$求出AH、AD即可解决问题．
（2）由（1）可知HN=HB=2a，只要证明PB=BQ，BM=BE即可．

解答 （1）证明：作NH⊥AB于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∵AM=BM，
∴AD：AM=2：1，
∵∠DAB=∠NHM=90°，
∴AD∥NH，
∴△ADM∽△HNM，
∴$\frac{AD}{HN}$=$\frac{AM}{MH}$，
∴$\frac{NH}{MH}$=$\frac{AD}{AM}$=2，设MH=a，HN=2a，
∵NA²=NM•ND，
∴$\frac{AN}{MN}$=$\frac{ND}{AN}$，∵∠ANM=∠AND，
∴△ANM∽△DNA，
∴∠NAM=∠ADN=∠MNH，
∵∠MHN=∠AHN，
∴△HNM∽△HAN，
∴$\frac{HN}{AH}$=$\frac{MH}{HN}$，
∴$\frac{2a}{AH}$=$\frac{a}{2a}$，
∴AH=4a，AM=BM=3a，AD=AB=6a，HB=HN=2a，
∵AD∥NH，
∴$\frac{MN}{DM}$=$\frac{NH}{AD}$=$\frac{2a}{6a}$=$\frac{1}{3}$．
（2）由（1）可知HN=HB=2a，
∴∠HBN=∠HNB=45°，
∴∠APB=∠CBQ=45°，
∴∠APB=∠ABP=45°，∠CBQ=∠CQB=45°，
∴AP=AB，BC=CQ，
∴PB=$\sqrt{2}$AB，BQ=$\sqrt{2}$BC，
∵AB=BC，
∴PB=BQ，
∴CQ∥AB，
∴$\frac{CQ}{AB}$=$\frac{CE}{EB}$=1，
∴EB=EC=MB，
在BMP和△BEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=BE}\\{∠PBM=∠EBQ}\\{PB=BQ}\end{array}\right.$，
∴△BMP≌△BEQ．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，学会设MH=a，HN=2a求出相应的线段，解决问题，属于中考常考题型．