Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB中，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，连接AE．

（1）求证：△ABC≌△AEC；

（2）若AB=AC，试判断四边形ACDE的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形ACDE是菱形．理由见解析.

【解析】

（1）根据旋转的性质得出BC=EC，∠ACB=∠DCE=30°，∠BCE=60°，那么∠ACE=30°=∠ACB．再根据SAS即可证明△ABC≌△AEC；
（2）由（1）得△ABC≌△AEC，那么AE=AB，而AB=AC，等量代换得出AE=AB=AC．根据旋转的性质得出△DEC≌△ABC，那么CD=AC=AB，DE=AB，从而得出AC=CD=DE=AE，进而得到四边形ACDE是菱形．

（1）证明：∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，

∴BC=EC，∠ACB=∠DCE=30°，∠BCE=60°，

∴∠ACE=60°﹣30°=30°，

∴∠ACE=∠ACB．

在△ABC与△AEC中，

∴△ABC≌△AEC（SAS）；

（2）解：四边形ACDE是菱形．理由如下：

由（1）得△ABC≌△AEC，

∴AE=AB，

∴AB=AC，

∴AE=AB=AC．

∵△DEC是由△ABC旋转而得，

∴△DEC≌△ABC，

∴CD=AC=AB，DE=AB，

∴AC=CD=DE=AE，

∴四边形ACDE是菱形．