Question

7．如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点．
（1）求证：DC为⊙O切线；
（2）若DC=1，AC=$\sqrt{5}$，①求⊙O半径长；②求PB的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，由AC平分∠EAB得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，则∠1=∠3，于是可判断OC∥AD，由于CD⊥AD，所以OC⊥CD，则根据切线的判定定理得到DC为⊙O切线；
（2）①连结BC，如图，在Rt△ACD中利用勾股定理计算出AD=2，再Rt△ACD∽Rt△ABC，利用相似比计算出AB=$\frac{5}{2}$，从而得到⊙O半径长为$\frac{5}{4}$；
②证明△POC∽△PAD，然后利用相似比可计算出BP的长．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵AC平分∠EAB，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴DC为⊙O切线；
（2）解：①连结BC，如图，
在Rt△ACD中，∵CD=1，AC=$\sqrt{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=2，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠1=∠2，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，即$\sqrt{5}$：AB=2：$\sqrt{5}$，
∴AB=$\frac{5}{2}$，
∴⊙O半径长为$\frac{5}{4}$；
②∵OC∥AD，
∴△POC∽△PAD，
∴$\frac{PO}{PA}$=$\frac{OC}{AD}$，即$\frac{PB}{PB+\frac{5}{2}}$=$\frac{\frac{5}{4}}{2}$，
∴BP=$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．