Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（﹣1，0），tan∠ACO＝2．一次函数y＝kx+b的图象经过点B、C，反比例函数y＝的图象经过点B．

（1）求一次函数关系式和反比例函数的关系式；

（2）当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集为　 　；

（3）若x轴上有两点E、F，点E在点F的左边，且EF＝1．当四边形ABEF周长最小时，请直接写出点E的横坐标为　 　．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x﹣，y＝﹣；（2）﹣3＜x＜0；（3）-

【解析】

（1）过点B作BF⊥x轴于点F，由△AOC≌△CFB求得点B的坐标，利用待定系数法可求出一次函数和反比例函数的关系式；

（2）当x＜0时，求出一次函数值y＝kx＋b小于反比例函数y＝的x的取值范围，结合图形即可直接写出答案；

（3）把B向右平移1个单位得到B′（2，1），作点A关于x轴的对称点A′（0，2），连接A′B′交x轴于点F，求出直线A′B′的解析式求出点F的坐标即可解决问题．

解：（1）如图1中，过点B作BF⊥x轴于点F，

∵点C坐标为（﹣1，0），

∴OC＝1，

∵tan∠ACO＝2＝，

∴OA＝2，

∴点A坐标为（0，2）．

∴OA＝2，OC＝1，

∵∠BCA＝90°，

∴∠BCF+∠ACO＝90°，

又∵∠CAO+∠ACO＝90°，

∴∠BCF＝∠CAO，

∴△AOC≌△CFB（AAS），

∴FC＝OA＝2，BF＝OC＝1，

∴点B的坐标为（﹣3，1），

将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：1＝，解得：m＝﹣3，

故可得反比例函数解析式为y＝﹣，

将点B、C的坐标代入一次函数解析式可得：

，解得： ．

故可得一次函数解析式为y＝﹣x﹣．

（2）结合点B的坐标及图象，可得当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集为：﹣3＜x＜0．

故答案为：﹣3＜x＜0．

（3）如图中，把span>B向右平移1个单位得到B′（2，1），作点A关于x轴的对称点A′（0，2），连接A′B′交x轴于点F，

设直线A′B′的解析式为ax+b（a≠0）

把A′（0，2），B′（2，1）代入得

解得

∴直线A′B′的解析式为y＝x2，

∴令y=0，即x2=0

解得x=-

∴F（，0），

∴OF＝

∴OE＝1＋＝

∴点E的横坐标为，

故答案为．