Question

【题目】数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

（1）探究的几何意义：如图①，在直角坐标系中，设点M的坐标为(x，y)，过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为(x，0)，Q点坐标为(0，y)，即OP＝|x|，OQ＝|y|，在△OPM中，PM＝OQ＝|y|，则MO＝，因此，的几何意义可以理解为点M(x，y)与点O(0，0)之间的距离OM．

①的几何意义可以理解为点N1　 　（填写坐标）与点O(0，0)之间的距离N1O；

②点N2(5，﹣1)与点O(0，0)之间的距离ON2为　 　．

（2）探究的几何意义：如图②，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（1）可知，A′O＝，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB＝A′O，所以AB＝，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离．

（3）探究的几何意义：请仿照探究二（2）的方法，在图③中画出图形，那么的几何意义可以理解为点C　 　（填写坐标）与点D(x，y)之间的距离．

（4）拓展应用：①的几何意义可以理解为：点A(x，y)与点E(1，﹣4)的距离与点A(x，y)与点F　 　（填写坐标）的距离之和．

②的最小值为　 　（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）①(﹣2，3)或(3，﹣2)；②；（3）见解析， (﹣2，3)；（4）①(﹣2，﹣3)；②

【解析】

(1)①构造直角三角形利用勾股定理即可得出答案；

②由两点间的距离即可得出答案；

(3)设点D′的坐标为，由两点间的距离和平移的性质即可得出结论；

(4)①由(3)即可得出答案；

②根据三角形的三边关系即可求出答案．

(1)①的几何意义可以理解为点N1 或与点O之间的距离N1O，

故答案为：或；

②点N2与点O之间的距离ON2为：，

故答案为：；

(3)设点D′的坐标为，如图③所示：

由探究(2)可知，D′O=，

将线段D′O先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到线段CD，

此时，D的坐标为，点C的坐标为，

∵CD=D'O，

∴CD=，

∴的几何意义为点C到点D之间的距离；

故答案为：；

(4)①由(2)可知： 的几何意义可以理解为：

点A与点E的距离与点A与点F的距离之和，

故答案为：；

②当A位于直线EF外时，

此时点A、E、F三点组成△AEF，

∴由三角形三边关系可知：EF＜AF+AE，

当点A位于线段EF之间时，此时EF=AF+AE，

∴的最小值为EF的距离，

∴EF=，

故答案为：．