Question

8．如图，△ABC内接于圆O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．圆O半径长为1，则由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积是$\frac{3\sqrt{3}-π}{6}$．（结果保留π和根号）．

Answer 1

分析 由已知可证得OC⊥CD，OC为圆的半径所以直线CD与⊙O相切，根据已知可求得OC，CD的长，则利用S_阴影=S_△COD-S_扇形OCB求得阴影部分的面积．

解答 解：∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°，
又∵OB=OC，
∴△OBC是正三角形，
∴∠OCB=60°，
又∵∠BCD=30°，
∴∠OCD=60°+30°=90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC是半径，
∴直线CD与⊙O相切，
∴△OCD是Rt△，∠COB=60°，
∵OC=1，
∴CD=$\sqrt{3}$，
∴S_△COD=$\frac{1}{2}$OC•CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵S_扇形OCB=$\frac{π}{6}$，
∴S_阴影=S_△COD-S_扇形OCB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{3\sqrt{3}-π}{6}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}-π}{6}$．

点评 此题主要考查了对切线的性质及扇形的面积公式，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，以及扇形的面积计算公式．