Question

【题目】如图，点O是等边△ABC内一点，∠BOC＝，∠AOC＝100°，将△BOC绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDA，连接OD.

(1) 求证：△BOD是等边三角形.

(2) 当＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由.

(3) 若△AOD是等腰三角形，请你直接写出的度数.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)α=150°时，△AOD是直角三角形；理由见解析；(3)130°或100°或160°

【解析】

（1）根据旋转的性质可得出OB=BD，∠OBD=60°,根据等边三角形的判定即可求证；

（2）由（1）的结论可得∠BDO=60°；由于α=150°,所以∠ADB=∠BOC=150°，继而可得∠ADO=∠ADB-∠ODB=90°，由∠AOC=100°，∠BOD=60°，可求出∠AOD=360°-∠α-∠AOC-∠COD=360°-150°-100°-60°=50°，根据三角形的内角即可判定三角形的形状;

（3）分AO=AD、AO=OD、DO=AD三种情况，根据等腰三角形的概念，三角形内角和定理计算.

(1)证明：∵将△BOC绕点B按逆时针方向旋转60°得△BDA，

∴BO=BD，∠OBD=60°，

∴△BOD是等边三角形．

(2)解：当α=150°时，△AOD是直角三角形．理由是：

∵将△BOC绕点B按逆时针方向旋转60°得△BDA，

∴△BOC≌△BDA，

∴∠ADB=∠BOC=150°，

又∵△BOD是等边三角形，

∴∠ODB=60°，

∴∠ADO=∠ADB-∠ODB=90°，

∵∠α=150°,∠AOC=100°，∠BOD=60°，

∴∠AOD=360°-∠α-∠AOC-∠COD=360°-150°-100°-60°=50°，

∴△AOD不是等腰直角三角形，

即△AOD是直角三角形．

(3) ∵△BOD是等边三角形，

∴∠ADO=α-60°，

∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA=α-60°，

∴∠AOD=180°-2（α-60°），解得α=100°；

当OD=AD时，α+100°+60°+∠AOD=360°，

∠AOD= ，解得α=160°；

当OA=AD时，α+100°+60°+∠AOD=360°，∠AOD=α-60°，解得，α=130°

综合可得:130°或100°或160°