Question

3．在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BE⊥AD于E，且∠CED=∠ACB．求证：BD=2DC．

Answer 1

分析 过A作AH⊥BC与H，由BE⊥AD，得到∠ADH=∠BED=90°，由于∠ADH=∠BDE，推出△ADH∽△BDE，于是得到AD•DE=BD•DH，由于∠ACB=∠CED，∠ADC=∠CDE，推出△ACD∽△CED，得到AD•DE=CD²，等量代换得到CD²=BD•DH，根据AH⊥BC，AB=AC，得到BC=2BH=2CH，设DH=a，CD=b，则BH=CH=a+b，bd=2a+b，代入化简即可得到结论．

解答 证明：过A作AH⊥BC于H，
∵BE⊥AD，
∴∠AHD=∠BED=90°，
∵∠ADH=∠BDE，
∴△ADH∽△BDE，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DH}{DE}$，
∴AD•DE=BD•DH，
∵∠ACB=∠CED，∠ADC=∠CDE，
∴△ACD∽△CED，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{ED}$，
∴AD•DE=CD²，
∴CD²=BD•DH，
∵AH⊥BC，AB=AC，
∴BC=2BH=2CH，
设DH=a，CD=b，则BH=CH=a+b，BD=2a+b，
∴b²=（2a+b）•a，
∴（2a-b）（a+b）=0，
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，
∴2a-b=0，
∴2a=b，
∴BD=2a+b=2b=2CD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．