Question

4．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，对角线交于点O，连结AO，如果AB=4，AO=4$\sqrt{2}$，那么AC的长等于（　　）

• A． 12
• B． 16
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 8$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 在AC上截取CG=AB=4，连接OG，根据B、A、O、C四点共圆，推出∠ABO=∠ACO，证△BAO≌△CGO，推出OA=OG=4$\sqrt{2}$，∠AOB=∠COG，得出等腰直角三角形AOG，根据勾股定理求出AG，即可求出AC．

解答 解：在AC上截取CG=AB=4，连接OG，
∵四边形BCEF是正方形，∠BAC=90°，
∴OB=OC，∠BAC=∠BOC=90°，
∴B、A、O、C四点共圆，
∴∠ABO=∠ACO，
在△BAO和△CGO中
$\left\{\begin{array}{l}{BA=CG}\\{∠BAO=∠GCO}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△BAO≌△CGO（SAS），
∴OA=OG=4$\sqrt{2}$，∠AOB=∠COG，
∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°，
∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°，
即△AOG是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AG=$\sqrt{A{O}^{2}+O{G}^{2}}$=8，
即AC=AG+CG=8+4=12．
故选A．

点评 本题主要考查对勾股定理，正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．