Question

【题目】如图，已知一次函数y= x﹣3与反比例函数 的图象相交于点A（4，n），与 轴相交于点B．

（1）填空：n的值为 ， k的值为；
（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在 轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；
（3）考察反比函数 的图象，当 时，请直接写出自变量 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：把点A（4，n）代入一次函数y=x﹣3，可得n=×4﹣3=3；；把点A（4，3）代入反比例函数y= ， 可得3= ， 解得k=12;
（2）

解：∵一次函数y=x﹣3与x轴相交于点B，

∴x﹣3=0，

解得x=2，

∴点B的坐标为（2，0）;

如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，

∵A（4，3），B（2，0），

∴OE=4，AE=3，OB=2，

∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2，

在Rt△ABE中，AB===，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=CD=BC=，

∵AB∥CD，

∴∠ABE=∠DCF，

∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，

∴∠AEB=∠DFC=90°，

在△ABE与△DCF中，

∴△ABE≌△DCF（ASA），

∴CF=BE=2，DF=AE=3;

∴OF=OB+BC+CF=2++2=4+，

∴点D的坐标为（4+，3）

（3）

解：当y=﹣2时，﹣2=，解得x=﹣6．

故当y≥﹣2时，自变量x的取值范围是x≤﹣6或x＞0．

【解析】（1）把点A（4，n）代入一次函数y= x﹣3，可得n的值；把点A（4，3）代入反比例函数y= ，可得k的值；
（2）求出一次函数y=x﹣3与x轴的交点B的坐标（2，0）;如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F再根据勾股定理，菱形的性质，得出△ABE≌△DCF（ASA），由全等三角形的性质求出答案。
（3）当y=﹣2时，﹣2=，解得x=﹣6．故当y≥﹣2时，自变量x的取值范围是x≤﹣6或x＞0.
【考点精析】掌握反比例函数的性质和菱形的性质是解答本题的根本，需要知道性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．