Question

【题目】已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．

（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB+BE=AM；
（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．）
（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1），（2）的条件下，若BE=，∠AFM=15°，则AM=.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图①，延长MF，交边BC的延长线于点H，

∵四边形ABCD是正方形，FM⊥AD，

∴∠ABE=90°，∠EHF=90°，四边形ABHM为矩形，

∴AM=BH=BE+EH

∵△AEF为等腰直角三角形，

∴AE=AF，∠AEB+∠FEH=90°，

∵∠EFH+∠FEH=90°，

∴∠AEB=∠EFH，

在△ABE与△EHF中，

，

∴△ABE≌△EHF（AAS），

∴AB=EH，

∵AM=BH=BE+EH，

∴AM=BE+AB，即AB+BE=AM；

（2）

解：如图②，∵∠AEB+∠FEH=90°，∠AEB+∠EAB=90°，

∴∠FEH=∠EAB，

在△ABE与△EHF中，

，

∴△ABE≌△EHF（AAS），

∴AB=EH=EB+AM；

如图③∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠HEF=90°，

∴∠BAE=∠HEF，

在△ABE与△EHF中，

，

∴△ABE≌△EHF（AAS），

∴AB=EH，

∴BE=BH+EH=AM+AB；

（3）

解：如图①，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，

∴∠EFM=60°，

∴∠EFH=120°，

在△EFH中，

∵∠FHE=90°，∠EFH=120°，

∴此情况不存在；

如图②，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，

∴∠EFH=60°，

∵△ABE≌△EHF，

∴∠EAB=∠EFH=60°，

∵BE=，

∴AB=BEtan60°=×=3，

∵AB=EB+AM，

∴AM=AB﹣EB=3﹣；

如图③，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，

∴∠EFH=45°﹣15°=30°，

∴∠AEB=30°，

∵BE=，

∴AB=BEtan30°==1，

∵BE=AM+AB，

AM=BE﹣AB=，

故答案为：3﹣或．

【解析】（1）首先利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质得AE=EF，∠ABE=∠EHF=90°，利用全等三角形的判定定理证明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性质定理可得结论；
（2）同（1）首先证明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性质定理可得结论；
（3）利用分类讨论的思想，首先由∠AFM=15°，易得∠EFH，由△ABE≌△EHF，根据全等三角形的性质易得∠AEB，利用锐角三角函数易得AB，利用（1）（2）的结论，易得AM．
【考点精析】关于本题考查的全等三角形的性质和平行四边形的性质，需要了解全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等；平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分才能得出正确答案．