Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝a（x﹣）（x+）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线DE是抛物线的对称轴，点D在x轴上，点E在抛物线上，直线y＝kx+过点A、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第二象限对称轴左侧抛物线上一点，过点P作PQ∥AC交对称轴于点Q，设点P的横坐标为t，线段QD的长为d，求d与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，直线AC与对称轴交于点F，点M在对称轴ED上，连接AM、AE，∠AMD＝2∠EAM，过点A作AG⊥AM交过点D平行于AE的直线于点G，点N是线段BP延长线上一点，连接AN、MN、NF，若四边形NMGA与四边形NFDA的面积相等，且FN∥AM，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+；（2）d＝﹣t2﹣t+5；（3）P(﹣5，)．

【解析】

（1）由已知可求C(0，)，再将点C代入抛物线解析式即可求出a的值，即可得到二次函数的解析式；

（2）P(t，﹣t2﹣t+)，过点P作PT⊥x轴，PS⊥y轴交DE于点L，则PT＝﹣t2﹣t+，PS＝﹣t，在矩形PTOS和矩形PTDL中，有DT＝PL＝﹣t﹣，设AC交DE于点F，由∠PQL＝∠AFL＝∠ACO，则tan∠PQL＝tan∠AFL＝tan∠ACO＝，QL＝﹣t﹣，即可得到d＝﹣t2﹣t+5；

（3）先证明△AMG≌△DFA，得到△AMN与△ANF的面积相等，过点M作MK⊥AN于点K，过点F作FH⊥AN于点H，再证明四边形HKMF为平行四边形，四边形AMFN为平行四边形，求出BN的解析式为y＝﹣x+，即可求P点坐标．

（1）∵直线y＝kx+与y轴交于点C，

∴C(0，)，

∴OC＝，

∵y＝a（x﹣）（x+）经过点C，

∴a＝﹣，

∴y＝﹣x2﹣x+；

（2）∵y＝﹣x2﹣x+，

∴设P(t，﹣t2﹣t+)，A(﹣，0)，B(，0)，

∴tan∠ACO＝＝，

过点P作PT⊥x轴，PS⊥y轴交DE于点L，

∴PT＝﹣t2﹣t+，PS＝﹣t，

∵DE是抛物线的对称轴，

∴D(﹣，0)，

在矩形PTOS和矩形PTDL中，有DT＝PL＝﹣t﹣，

设AC交DE于点F，

∵PQ∥AC，DE∥y轴，

∴∠PQL＝∠AFL＝∠ACO，

∴tan∠PQL＝tan∠AFL＝tan∠ACO＝，

∴QL＝﹣t﹣，

∵DQ＝DL+QL，

∴d＝﹣t2﹣t+5；

（3）∠EAM＝α，则∠AMD＝2∠EAM＝2α，

∴∠AEM＝∠EAM＝α，

∴AM＝EM，

∵DE＝8，AD＝4，

∴在RtADM中，AM2=(8-AM)2+42，

∴AM＝EM＝5，DM＝3，

∵DG∥AE，

∴∠GDJ＝∠AEM＝α，

∴∠ADG＝90°﹣α，

∵AM⊥AG，

∴∠MAG＝90°，

∴∠DAG+∠MAD=∠AMD+∠MAD，

∴∠DAG＝∠AMD＝2α，

∴∠AGD＝∠ADG＝90°﹣α，

∴AG＝AD＝4，

∵tan∠AFD＝，

∴DF＝5，

在△AMG与△DFA中，

，

∴△AMG≌△DFA（SAS），

∴△AMG与△DAF的面积相等，

∵四边形NMGA与四边形NFDA的面积相等，

∴△AMN与△ANF的面积相等，

如图2，过点M作MK⊥AN于点K，过点F作FH⊥AN于点H，

∴MK＝FH，

∵MK∥FH，

∴四边形HKMF为平行四边形，

∴AN∥DE，

∴点N与点A的横坐标相等，

∵AM∥NF，

∴四边形AMFN为平行四边形，

∴AN＝MF＝DF﹣DM＝2，

∴N(﹣，2)，

∴BN的解析式为：y＝﹣x+，

∴﹣x+＝﹣x2﹣x+，

∴x＝﹣5或x＝（舍），

∴P(﹣5，)．