Question

【题目】如图所示，等边△ABC中D点为AB边上一动点，E为直线AC上一点，将△ADE沿着DE折叠，点A落在直线BC上，对应点为F，若AB＝4，BF：FC＝1：3，则线段AE的长度为_____．

Answer 1

【答案】或14

【解析】

点E在直线AC上，本题分两类讨论，翻折后点F在BC线段上或点F在CB延长线上，根据一线三角的相似关系求出线段长．

解：按两种情况①点F在线段BC上，如图所示，由折叠性质可知

∠A＝∠DFE＝60°

∵∠BFD+∠CFE＝120°，∠BFD+∠BDF＝120°∴∠BDF＝∠CFE∵∠B＝∠C

∴△BDF∽△CFE，∴

∵AB＝4，BF：FC＝1：3

∴BF＝1，CF＝3

设AE＝x，则EF＝AE＝x，CE＝4﹣x

∴

解得BD＝，DF＝

∵BD+DF＝AD+BD＝4

∴

解得x＝，经检验当x＝时，4﹣x≠0

∴x＝是原方程的解

②当点F在线段CB的延长线上时，如图所示，同理可知

△BDF∽△CFE

∴

∵AB＝4，BF：FC＝1：3，可得BF＝2，CF＝6

设AE＝a，可知AE＝EF＝a，CE＝a﹣4

∴

解得BD＝，DF＝

∵BD+DF＝BD+AD＝4

∴解得a＝14

经检验当a＝14时，a﹣4≠0

∴a＝14是原方程的解，综上可得线段AE的长为或14

故答案为或14