Question

9．矩形ABCD中，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足．
（1）求证：△ABM∽△DEA；
（2）求证：DC•AE=DE•MC；
（3）若AB=4，BC=6，求ME的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得∠B=90°，AD∥BC，则∠DAE=∠AMB，而DE⊥AM，所以∠B=∠AED=90°，于是根据相似三角形的判定即可得到△ADE∽△MAB；
（2）由△ADE∽△MAB，可得到AB•AE=DE•MB，又AB=CD，BM=MC，等量代换即可得出结论；
（3）由M是BC中点，AD=BC=6得到BM=3，在Rt△ABM中，根据勾股定理得AM=5，再由△ADE∽△MAB，利用相似比计算出AE，然后利用EM=AM-AE求解

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AMB，
∵DE⊥AM
∴∠B=∠AED=90°，
∴△ADE∽△MAB；
（2）∵△ADE∽△MAB，
∴AB•AE=DE•MB，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，
∵M是BC的中点，
∴BM=MC，
∴DC•AE=DE•MC；
（3）解：∵M是BC中点，AD=BC=6
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=3，
在Rt△ABM中，AB=4，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=5，
∵△ADE∽△MAB，
∴$\frac{AE}{BM}$=$\frac{AD}{AM}$，即$\frac{AE}{3}$=$\frac{6}{5}$，
∴AE=$\frac{18}{5}$，
∴EM=AM-AE=5-$\frac{18}{5}$=$\frac{7}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形对应边的比相等．本题同时也考查了勾股定理和矩形的性质．