Question

4．如图，△ABC中，∠A=45°，过点A作AD⊥BC，BD=2，BC=3，求S_△ABC．

Answer 1

分析 根据全等三角形的判定与性质，可得AF的长，根据相似三角形的判定与性质，可得FD的长，根据三角形的面积公式，可得答案．

解答 解：如图：B作BE⊥AC，垂足为E交AD于F．，
∴∠FEA=∠CEB=90°．
∵∠BAC=45°
∴BE=AE．
∠CBE+∠C=∠FAE+∠C，
∴∠CBE=FAE．
在Rt△AFE和Rt△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠CBE}\\{∠AEF=∠BEC=90°}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△BCE  （AAS），
∴AF=BC=BD+DC=5．
∵∠FBD=∠DAC，又∠BDF=∠ADC=90°，
∴△BDF∽△ADC
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{FD}{DC}$，
设FD长为x，
即x：2=3：（x+5）
解得x=1
即FD=1
∴AD=AF+FD=5+1=6．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×5×6=15．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作辅助线得出Rt△AEF与Rt△BDF是解题关键．