Question

【题目】如图，点在⊙的直径的延长线上，点在⊙上， ， ．

（1）求证： 是⊙的切线；

（2）若⊙的半径为，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】试题分析：（1）连接OC．只需证明∠OCD＝90°．根据等腰三角形的性质即可证明；

（2）先根据直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半求出OD，然后根据勾股定理求出CD，则阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．

（1）证明：连接OC．

∵AC＝CD，∠ACD＝120°，

∴∠A＝∠D＝30°．

∵OA＝OC，

∴∠2＝∠A＝30°．

∴∠OCD＝∠ACD－∠2＝90°，

即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∠1＝∠2＋∠A＝60°．

∴S扇形BOC＝＝．

在Rt△OCD中，∠D＝30°，

∴OD＝2OC＝4，

∴CD＝＝．

∴SRt△OCD＝OC×CD＝×2×＝．

∴图中阴影部分的面积为： －．