【题目】如图,Rt△ABC中,AB=6,AC=8.动点E,F同时分别从点A,B出发,分别沿着射线AC和射线BC的方向均以每秒1个单位的速度运动,连接EF,以EF为直径作⊙O交射线BC于点M,连接EM,设运动的时间为t(t>0).
(1)当点E在线段AC上时,用关于t的代数式表示CE= ,CM= .(直接写出结果)
(2)在整个运动过程中,当t为何值时,以点E、F、M为顶点的三角形与以点A、B、C为顶点的三角形相似?
【答案】(1)8-t, ;(2) t的值为s或s.
【解析】
(1)当点E在线段AC上时,0<t≤8.根据题意,可知AE=t,则CE=AC-AE=8-t,利用圆周角定理得∠EMF=90°.则可证得△CEM∽△CBA,利用相似比可表示出CM;
(2)讨论:当E点在线段AC上,(0<t≤8),先由△CEM∽△CBA,利用相似比可表示出,则FM=,①若∠EFM=∠B时,△MFE∽△ABC,利用相似比可求出t=0(舍去);②若∠EFM=∠ACB时,△MEF∽△ABC,利用相似比可求得t=(s);分情况进行讨论即可;
解:(1)如图1中,当点 E 在线段 AC 上时,0<t≤8.根据题意,可知 AE=t,则 CE=AC﹣AE=8﹣t.
∵EF 为直径,
∴∠EMF=90°.
∵∠ECM=∠BCA,
∴△CEM∽△CBA,
∴,即,
∴,
故答案为:8﹣t,.
(2)∵△CEM∽△CBA,
∴,
即,
解得,
∴FM=BC﹣BF﹣CM=10﹣t﹣=,
当E点在线段 AC 上,(0<t≤8),
①如图1中,若∠EFM=∠B时,△MFE∽△ABC,
∴,
即,解得t=0(舍去).
②若∠EFM=∠ACB时,△MEF∽△ABC,
∴
即,解得t=(成立).
当E点在线段AC的延长线上,8<t≤10,如图2中,
显然EM<CM≤FM,∴△MFE∽△ABC不成立,
只有△MFE∽△ACB,当点F运动到C点时,
∵∠EFM=∠ACB,∠CME=∠A,
∴△MEF∽△ABC,此时t=10(成立);
当t>10时,由题意ME=(t﹣8),FM=BC+CM﹣BF=10+(8﹣t)﹣t=,
若△MFE∽△ABC,此时∠EFM=∠B,则=,即(8﹣t):=3:4,
解得t=(成立),
若△MEF∽△ABC,此时∠EFM=∠ACB,则=,即(t﹣8):=3:4,
解得t=10(舍弃),
综上所述,满足条件的t的值为s或s.
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【题目】如图,已知抛物线经过两点A(﹣3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=﹣1.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)若点Q是对称轴上一动点,当OQ+BQ最小时,求点Q的坐标.
(3)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A,点B),求△PAB面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
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【题目】已知二次函数y=2x2﹣4x﹣6.
(1)求这个二次函数图象的顶点坐标及对称轴;
(2)指出该图象可以看作抛物线y=2x2通过怎样平移得到?
(3)在给定的坐标系内画出该函数的图象,并根据图象回答:当x取多少时,y随x增大而减小;当x取多少时,y<0.
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【题目】已知直线y=kx(k≠0)经过点(12,﹣5),将直线向上平移m(m>0)个单位,若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交(点O为坐标原点),则m的取值范围为_____.
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【题目】如图,小明为了测量小河对岸大树BC的高度,他在点A测得大树顶端B的仰角为45°,沿斜坡走3米到达斜坡上点D,在此处测得树顶端点B的仰角为31°,且斜坡AF的坡比为1:2.
(1)求小明从点A到点D的过程中,他上升的高度;
(2)大树BC的高度约为多少米?(参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)
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【题目】如图,抛物线经过点,交y 轴于点C:
(1)求抛物线的顶点坐标.
(2)点为抛物线上一点,是否存在点使,若存在请直接给出点坐标;若不存在请说明理由.
(3)将直线绕点顺时针旋转,与抛物线交于另一点,求直线的解析式.
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【题目】M、N两同学在做一种游戏,规定每人随机伸出一只手中的1根至5根手指,两人伸出的手指的和若为2,3,4,8,9,10,则M胜;若和为5,6,7,则N胜.
(1)用画树状图法分别求M、N两人获胜的概率;
(2)上面的游戏公平吗?若不公平,你能否设计一个方案使游戏绝对公平?若能,写出方案;若不能,说明理由.
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【题目】如图,在中,,cm, cm,在中,,cm,cm.EF在BC上,保持不动,并将以1cm/s的速度向点C运动,移动开始前点F与点B重合,当点E与点C重合时,停止移动.边DE与AB相交于点G,连接FG,设移动时间为t(s).
(1)从移动开始到停止,所用时间为________s;
(2)当DE平分AB时,求t的值;
(3)当为等腰三角形时,求t的值.
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