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【题目】如图,RtABC中,AB6AC8.动点EF同时分别从点AB出发,分别沿着射线AC和射线BC的方向均以每秒1个单位的速度运动,连接EF,以EF为直径作⊙O交射线BC于点M,连接EM,设运动的时间为tt0).

1)当点E在线段AC上时,用关于t的代数式表示CE   CM   .(直接写出结果)

2)在整个运动过程中,当t为何值时,以点EFM为顶点的三角形与以点ABC为顶点的三角形相似?

【答案】(1)8-t, ;(2) t的值为s或s.

【解析】

1)当点E在线段AC上时,0t≤8.根据题意,可知AE=t,则CE=AC-AE=8-t,利用圆周角定理得∠EMF=90°.则可证得CEM∽△CBA,利用相似比可表示出CM
2)讨论:当E点在线段AC上,(0t≤8),先由CEM∽△CBA,利用相似比可表示出,则FM=,①若∠EFM=B时,MFE∽△ABC,利用相似比可求出t=0(舍去);②若∠EFM=ACB时,MEF∽△ABC,利用相似比可求得t=s);分情况进行讨论即可;

解:(1)如图1中,当点 E 在线段 AC 上时,0t≤8.根据题意,可知 AEt,则 CEACAE8t

EF 为直径,

∴∠EMF90°

∵∠ECM=∠BCA

∴△CEM∽△CBA

,即

故答案为:8t

2)∵△CEM∽△CBA

解得

FMBCBFCM10t

E点在线段 AC 上,(0t≤8),

①如图1中,若∠EFM=∠B时,MFE∽△ABC

,解得t0(舍去).

②若∠EFM=∠ACB时,MEF∽△ABC

,解得t(成立).

E点在线段AC的延长线上,8t≤10,如图2中,

显然EMCM≤FM,∴△MFE∽△ABC不成立,

只有MFE∽△ACB,当点F运动到C点时,

∵∠EFM=∠ACB,∠CME=∠A

∴△MEF∽△ABC,此时t10(成立);

t10时,由题意MEt8),FMBC+CMBF10+8t)﹣t

MFE∽△ABC,此时∠EFM=∠B,则,即8t):34

解得t(成立),

MEF∽△ABC,此时∠EFM=∠ACB,则,即t8):34

解得t10(舍弃),

综上所述,满足条件的t的值为ss

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