Question

【题目】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M、N分别是边AC、AB上的动点，连接MN，将△AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A′．

（1）如图1，若点A′恰好落在边AB上，且AN＝AC，求AM的长；

（2）如图2，若点A′恰好落在边BC上，且A′N∥AC．

①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由；

②求AM、MN的长；

（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当且时，求CP的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①菱形，理由见解析；②AM=，MN＝；（3）1．

【解析】

（1）利用相似三角形的性质求解即可．

（2）①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．

②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，由MA′∥AB，可得＝，由此构建方程求出x，解直角三角形求出OM即可解决问题．

（3）如图3中，作NH⊥BC于H．想办法求出NH，CM，利用相似三角形，确定比例关系，构建方程解决问题即可．

解：（1）如图1中，

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝，

∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠C＝90°，

∴△ANM∽△ACB，

∴＝，

∵AN＝AC

∴＝，

∴AM＝．

（2）①如图2中，

∵NA′∥AC，

∴∠AMN＝∠MNA′，

由翻折可知：MA＝MA′，∠AMN＝∠NMA′，

∴∠MNA′＝∠A′MN，

∴A′N＝A′M，

∴AM＝A′N，∵AM∥A′N，

∴四边形AMA′N是平行四边形，

∵MA＝MA′，

∴四边形AMA′N是菱形．

②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，

∵MA′∥AB，

∴

∴＝，

∴＝，

解得x＝，

∴AM＝

∴CM＝，

∴CA′＝＝＝，

∴AA′＝＝＝，

∵四边形AMA′N是菱形，

∴AA′⊥MN，OM＝ON，OA＝OA′＝，

∴OM＝＝＝，

∴MN＝2OM＝．

（3）如图3中，作NH⊥BC于H．

∵NH∥AC，

∴△ABC∽△NBH

∴＝＝

∴＝＝

∴NH＝，BH＝，

∴CH＝BC﹣BH＝3﹣＝，

∴AM＝AC＝，

∴CM＝AC﹣AM＝4﹣＝，

∵CM∥NH，

∴△CPM∽△HPN

∴＝，

∴＝，

∴PC＝1．