Question

5．研究下列算式，你会发现什么规律？
$\sqrt{11-2}$=3，
$\sqrt{1111-22}$=33，
$\sqrt{111111-222}$=333，
…
（1）请将你找出的规律用式子表示出来；
（2）你会证明你得到的结论吗？试试看．

Answer 1

分析 （1）观察上述算式可发现：根号内被开方数是2n个数字1和n个数字2的差，结果为n个数字3；
（2）从已知三个等式中找出计算规律，然后应用到一般式中．

解答 解：（1）∵$\sqrt{11-2}$=3，$\sqrt{1111-22}$=33，$\sqrt{111111-222}$=333
∴可发现：根号内被开方数是2n个数字1和n个数字2的差，结果为n个数字3，
则第n个算式可表示为：$\sqrt{\underset{\underbrace{11…11}}{2n个}-\underset{\underbrace{22…2}}{n个}}=\underset{\underbrace{33…3}}{n个}$．
（2）∵$\sqrt{11-2}=\sqrt{9}=3$；
$\sqrt{1111-22}$=$\sqrt{11×（101-2）}$=$\sqrt{11×99}$=$\sqrt{11×11×9}$=11×3=33；
$\sqrt{111111-222}$=$\sqrt{111×（1001-2）}$=$\sqrt{111×999}$=$\sqrt{111×111×9}$=111×3=333；
∴$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{2n个}-\underset{\underbrace{22…2}}{n个}}$=$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{n个}×（100…1-2）}$
=$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{n个}×\underset{\underbrace{99…9}}{n个}}$
=$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{n个}×\underset{\underbrace{11…1}}{n个}×9}$
=$\underset{\underbrace{11…1}}{n个}×3$
=$\underset{\underbrace{33…3}}{n个}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律，从已知三个等式中提取公因数再开方是证明关键．