Question

16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O与△ABC的三边分别切于点D，E，F．
（1）连接AO、BO，求∠AOB的度数；
（2）连接BD，若tan∠DBC=$\frac{1}{4}$，求tan∠ABD的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接DO、EO、FO，利用切线的定义和性质可得∠DOE=90°，AF=AD，BF=BE，易得△ADO≌△AFO，由全等三角形的性质可得∠AOF=∠AOD，∠BOF=∠BOE，易得$∠AOB=\frac{1}{2}（360°-∠DOE）$；
（2）过点D作DM⊥AB于点M，如图2，由tan∠DBC=$\frac{1}{4}$，可知$\frac{CD}{CB}=\frac{1}{4}$，设DC=1，则BC=4，可得CE=CD=1，BF=BE=3，设AD=AF=x，易得AC、AB，由勾股定理可得x，由△ADM∽△ABC，利用相似三角形的性质可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AM}{AC}=\frac{DM}{BC}$，易得AM，DM，BM，由tan∠ADB=$\frac{DM}{BM}$可得结果．

解答 解：（1）如图1，连接DO、EO、FO，
∵AC、BC、AB均为⊙O的切线，
∴AF=AD，BF=BE，CE=CD，∠∠ODC=90°，∠OEC=90°，
∵∠C=90°，
∴∠DOE=90°，
在△ADO与△AFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AD}\\{∠AFO=∠ADO=90°}\\{FO=DO}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△AFO，
∴∠AOF=∠AOD，
同理可得，∠BOF=∠BOE，
∴$∠AOB=∠AOD+∠BOE=\frac{1}{2}×$（360°-90°）=135°；

（2）过点D作DM⊥AB于点M，如图2，
∵tan$∠DBC=\frac{CD}{CB}=\frac{1}{4}$，
∴设DC=1，则BC=4，
∴CE=CD=1，BF=BE=3，
设AD=AF=x，则AC=1+x，AB=3+x，
在Rt△ABC中，（x+1）²+4²=（x+3）²，
解得：x=2，
∵△ADM∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AM}{AC}=\frac{DM}{BC}$，
∴$\frac{2}{5}=\frac{AM}{3}=\frac{DM}{4}$，
∴AM=$\frac{6}{5}$，DM=$\frac{8}{5}$，∴$BM=5-\frac{6}{5}$=$\frac{19}{5}$，
∴tan∠ABD=$\frac{DM}{BM}=\frac{\frac{8}{5}}{\frac{19}{5}}$=$\frac{8}{19}$．

点评 此题主要考查了切线的性质，作出恰当的辅助线，构建直角三角形是解答此题的关键．