Question

6．已知直线AB∥CD，点E在直线AB上，点EG在直线CD上，∠EFC、∠EGD的平分线FM、GN分别交直线AB于M、N．
（1）如果△EFG为等边三角形（如图1），那么∠1+∠2=120°．如果△EFG为等腰三角形（如图2），且顶角∠FEG=36°，那么∠1+∠2=108°．
（2）如果△EFG为任意三角形（如图3），那么∠1+∠2与∠FEG有什么关系？试说明理由；
（3）当三角形的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α为“倍角”，如果△EFG是有一个角为30°的“倍角三角形”，且∠FEG为“倍角”，请利用（2）中的结论求∠1+∠2的度数．

Answer 1

分析 （1）①由△EFG为等边三角形，证得∠EFC=∠EGD=120°，由∠EFC、∠EGD的平分线得出∠CFM=∠DGN=60°，再由AB∥CD，内错角相等即可得出结果；②由△EFG为等腰三角形，∠FEG=36°，推出∠EFG=∠EGF=72°，∠EFC=∠EGD=108°，由∠EFC、∠EGD的平分线得出∠CFM=∠DGN=54°，再由AB∥CD，内错角相等即可得出结果；
（2）由AB∥CD，∠EFC、∠EGD的平分线FM、GN，得出∠1=∠CFM=$\frac{1}{2}$∠CFE，∠2=∠DGN=$\frac{1}{2}$∠EGD，再由三角形的外角性质得出∠CFE=∠EGF+∠FEG，∠EGD=∠EFG+∠FEG，得出∠CFE+∠EGD=180°+∠FEG，即可得出结论；
（3）△EFG是有一个角为30°的“倍角三角形”，且∠FEG为“倍角”，有三种情况：①另两个角为60°、90°，60°为倍角时；②另两个角分别为50°、100°，100°为倍角时；③另两个角分别为15°、135°，30°为倍角时，分别代入（2）的结论即可．

解答 解：（1）①∵△EFG为等边三角形，
∴∠EFC=∠EGD=120°，
∵∠EFC、∠EGD的平分线FM、GN，
∴∠CFM=∠DGN=60°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠CFM，∠2=∠DGN，
∴∠1+∠2=∠CFM+∠DGN=60°+60°=120°，
故答案为120°；
②∵△EFG为等腰三角形，∠FEG=36°
∴∠EFG=∠EGF=72°，
∴∠EFC=∠EGD=108°，
∵∠EFC、∠EGD的平分线FM、GN，
∴∠CFM=∠DGN=54°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠CFM，∠2=∠DGN，
∴∠1+∠2=∠CFM+∠DGN=54°+54°=108°，
故答案为108°；
（2）∠1+∠2=90°+$\frac{1}{2}$∠FEG；理由如下：
∵AB∥CD，∠EFC、∠EGD的平分线FM、GN，
∴∠1=∠CFM=$\frac{1}{2}$∠CFE，∠2=∠DGN=$\frac{1}{2}$∠EGD，
∵∠CFE=∠EGF+∠FEG，∠EGD=∠EFG+∠FEG，
∴∠CFE+∠EGD=180°+∠FEG，
∴∠1+∠2=90°+$\frac{1}{2}$∠FEG；
（3）∵△EFG是有一个角为30°的“倍角三角形”，且∠FEG为“倍角”，有三种情况：
①另两个角为60°、90°，60°为倍角时，∠1+∠2=90°+$\frac{1}{2}$∠FEG=90°+$\frac{1}{2}$×60°=120°；
②另两个角分别为50°、100°，100°为倍角时，∠1+∠2=90°+$\frac{1}{2}$∠FEG=90°+$\frac{1}{2}$×100°=140°；
③另两个角分别为15°、135°，30°为倍角时，∠1+∠2=90°+$\frac{1}{2}$∠FEG=90°+$\frac{1}{2}$×30°=105°．

点评 本题考查了平行线性质、角平分线性质、等边三角形性质、等腰三角形性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行线性质、角平分线性质、三角形的外角性质是解决问题的关键．