Question

7．阅读理解：对于任意正实数a、b，∵${（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^2}$≥0，∴a-2$\sqrt{ab}$+b≥0，∴a+b≥2$\sqrt{ab}$，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2$\sqrt{ab}$（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2$\sqrt{p}$，只有当a=b时，a+b有最小值2$\sqrt{p}$．   根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m=1时，m+$\frac{1}{m}$有最小值2；
（2）若m＞0，只有当m=2时，2m+$\frac{8}{m}$有最小值8；
（3）已知直线L₁：y=$\frac{1}{2}$x+1，若点C为双曲线y=-$\frac{8}{x}$上任意一点，作CD∥y轴交直线L₁于点D，求线段CD长的最小值及此时C、D点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由a+b≥2$\sqrt{p}$，只有当a=b时，a+b有最小值2$\sqrt{p}$，可求得当且仅当m=$\frac{1}{m}$时，m+$\frac{1}{m}$有最小值；
（2）由a+b≥2$\sqrt{p}$，只有当a=b时，a+b有最小值2$\sqrt{p}$，即可求得答案；
（3）首先设C$（n，\frac{-8}{n}）$，则：D$（n，\frac{1}{2}n+1）$，即可表示出CD的长，再由若ab为定值p，则a+b≥2$\sqrt{p}$，只有当a=b时，a+b有最小值2$\sqrt{p}$，即可求得答案．

解答 解：（1）∵m＞0，
∴m+$\frac{1}{m}$≥2$\sqrt{m•\frac{1}{m}}$=2，当且仅当m=$\frac{1}{m}$时，即m=1时，m+$\frac{1}{m}$有最小值，最小值为2；
故答案为：1，2；

（2）∵m＞0，
∴2m+$\frac{8}{m}$≥2$\sqrt{2m•\frac{8}{m}}$=8，当且仅当2m=$\frac{8}{m}$时，即m=2时，2m+$\frac{8}{m}$有最小值，最小值为8；
故答案为：2，8

（3）设C$（n，\frac{-8}{n}）$，则：D$（n，\frac{1}{2}n+1）$，
∴CD=$（\frac{1}{2}n+1）-\frac{-8}{n}=\frac{1}{2}n+\frac{8}{n}+1≥2\sqrt{\frac{1}{2}n•\frac{8}{n}}+1=5$，
∴CD最短为5，此时$\frac{1}{2}n=\frac{8}{n}$，n=4，
∴C（4，-2），D（4，3）．

点评 此题属于反比例函数综合题．考查了几何不等式的应用以及一次函数与反比例函数上点的性质．注意理解几何不等式以及准确的应用是解此题的关键．