Question

20．如图1所示的纸杯，经测量（接缝处忽略不计），纸杯的杯口直径为10cm，底面直径为7.5cm，母线长为10cm，该纸杯的侧面展开如图2所示．
（1）纸杯的侧面展开图2中杯口所在圆的半径OA的长为40cm；
（2）若一只小虫从纸杯底面的点C出发，沿纸杯侧面爬行一周（如图3）回到点A，则小虫爬行的最短路程为28cm．（精确到1cm）

Answer 1

分析 （1）设∠O的度数是n，根据弧长公式得出10π=$\frac{nπ•OA}{180}$，7.5π=$\frac{nπ•（OA-10）}{180}$，求出OA和n即可；
（2）沿CA剪开，得出扇形AOA′，连接CA′，则CA′的长度是小虫爬行的最短路程，过C作CE⊥OA′于E，求出CE和OE，求出A′E，根据勾股定理求出CA′即可；

解答 解：（1）设∠O的度数是n，
则10π=$\frac{nπ•OA}{180}$，7.5π=$\frac{nπ•（OA-10）}{180}$，
解得：OA=40cm，n=45°；

（2）在图2中，沿CA剪开，得出扇形AOA′，连接CA′，则CA′的长度是小虫爬行的最短路程，
过C作CE⊥OA′于E，
在Rt△COE中，OC=30，∠O=45°，
∴CE=15$\sqrt{2}$，OE=15$\sqrt{2}$，
∴A′E=40-15$\sqrt{2}$，
在Rt△CEA′中，CA′=$\sqrt{{（40-15\sqrt{2}）}^{2}{+（15\sqrt{2}）}^{2}}$≈28cm．
故答案为：40，28．

点评 本题考查了平面展开-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，含45度角的直角三角形等知识点的综合运用，画出平面展开图是解答此题的关键．