Question

11．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）求证：AB=AC；
（2）若OA=10，PC=4$\sqrt{5}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连结OB，如图，利用切线的性质得∠OBP+∠PBA=90°，而∠ACP+∠CPA=90°，加上∠OPB=∠OBP，∠OPB=∠CPA，利用等角的余角相等得到∠ACP=∠CBA，所以AB=AC；
（2）设⊙O的半径为r，根据勾股定理得AC²=（4$\sqrt{5}$）²-（10-r）²，AB²=10²-r²，则利用AB=AC得到（4$\sqrt{5}$）²-（10-r）²=10²-r²，然后解方程即可．

解答 （1）证明：连结OB，如图，
∵AB为切线，
∴∠OBA=90°，即∠OBP+∠PBA=90°，
∵OA⊥l，
∴∠OAC=90°，
∴∠ACP+∠CPA=90°，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP．
而∠OPB=∠CPA，
∴∠CPA=∠OBP．
∴∠ACP=∠CBA，
∴AB=AC；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△PAC中，PA=OA-OP=10-r，
∴AC²=PC²-PA²=（4$\sqrt{5}$）²-（10-r）²，
在Rt△ABO中，AB²=OA²-OB²=10²-r²，
而AB=AC，
∴（4$\sqrt{5}$）²-（10-r）²=10²-r²，解得r=6，
即⊙O的半径为6．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了勾股定理．