Question

3．如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD，BC的交点．
（1）求证：∠CBA=∠DAB；
（2）若AD⊥AC，且OA=3，AC=4，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）根据SAS推出△ABC≌△BAD，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据全等得出OB=OA，根据勾股定理求出OC，即可得出答案．

解答 （1）证明：在△ABC和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BD}\\{∠CAB=∠DBA}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴∠CBA=∠DAB；

（2）解：∵∠CBA=∠DAB，OA=3，
∴OB=OA=3，
∵AD⊥AC，
∴∠CAO=90°，
∵OA=3，AC=4，
∴由勾股定理得：OC=5，
∴BC=3+5=8．

点评 本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，能推出△ABC≌△BAD是解此题的关键．