Question

8．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线，可得∠BAO=∠CAB，根据平行线的性质，可得∠CBA=∠BAO，根据等腰三角形的判定，可得BC=AC，从而得到点B的坐标，再根据待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）根据待定系数法，可得直线AB的解析式，根据自变量与函数值的关系，可得y_P，y_Q，根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得二次函数，再根据二次函数的最值性质就可解决问题；

解答 解：（1）如图1：

∵A（-3，0），C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∵∠AOC=90°，
∴AC=5．
∵BC∥AO，AB平分∠CAO，
∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．
∴BC=AC．
∴BC=5．
∵BC∥AO，BC=5，OC=4，
∴点B的坐标为（5，4）．
∵A（-3.0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{c=4}\\{25z+5b+c=4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{6}}\\{b=\frac{5}{6}}\\{c=4}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4；
（2）如图2：

设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（-3.0）、B（5，4）在直线AB上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{5m+n=4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
设点P的横坐标为t（-3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．
∴y_P=$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$，y_Q=-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{5}{6}$t+4．
∴PQ=y_Q-y_P=-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{5}{6}$t+4-（$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$）
=-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{5}{6}$t+4-$\frac{1}{2}$t-$\frac{3}{2}$
=-$\frac{1}{6}$t²+$\frac{1}{3}$t+$\frac{5}{2}$
=-$\frac{1}{6}$（t²-2t-15）
=-$\frac{1}{6}$[（t-1）²-16]
=-$\frac{1}{6}$（t-1）²+$\frac{8}{3}$．
∵-$\frac{1}{6}$＜0，-3≤1≤5，
∴当t=1时，PQ_最大=$\frac{8}{3}$．
∴线段PQ的最大值为$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用了直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，利用等腰三角形的判定得出BC的长是解题关键；利用了自变量与函数值的对应关系得出y_P，y_Q，利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减去较小的纵坐标得出二次函数是解题关键．