Question

18．直线y=-$\frac{1}{2}$x+4与x轴，y轴交于A，B两点．点P（m，0）是线段OA上的一动点（能与点O，A重合），若以OP为直径的圆与直线AB有公共点，则m的取值范围是$4\sqrt{5}-4$≤m≤8．

Answer 1

分析 由一次函数的解析式求出点A和B的坐标，由勾股定理求出AB，设以OP为直径的圆的圆心为D，作DM⊥AB于M，证明△ADM∽△ABO，得出对应边成比例$\frac{DM}{OB}=\frac{DA}{AB}$，当以OP为直径的圆与直线AB相切时，OD=DM，设OD=DM=x，则DA=8-x，求出OD，得出OP，即可得出结果．

解答 解：∵y=-$\frac{1}{2}$x+4，当x=0时，y=4；当y=0时，x=8，
∴A（8，0），B（0，4），
∴OA=8，OB=4，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
设以OP为直径的圆的圆心为D，作DM⊥AB于M，如图所示：
则∠DMA=90°=∠BOA，
∵∠DAM=∠BAO，
∴△ADM∽△ABO，
∴$\frac{DM}{OB}=\frac{DA}{AB}$，
当以OP为直径的圆与直线AB相切时，OD=DM，
设OD=DM=x，则DA=8-x，
∴$\frac{x}{4}=\frac{8-x}{4\sqrt{5}}$，
解得：x=2$\sqrt{5}$-2，
∴OP=2x=4$\sqrt{5}$-4，
∴m=4$\sqrt{5}$-4；
若以OP为直径的圆与直线AB有公共点，则m的取值范围是$4\sqrt{5}-4$≤m≤8；
故答案为：$4\sqrt{5}-4$≤m≤8．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一次函数图象上的点的坐标特征；通过作辅助线求出以OP为直径的圆与直线AB相切时OP的长是解决问题的关键．