Question

对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b=|a+b|+|a﹣b|．

（1）计算2⊙（﹣3）的值；

（2）①当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简a⊙b；

②当a⊙b=a⊙c时，是否一定有b=c或者b=﹣c？若是，则说明理由；若不是，则举例说明．

（3）已知（a⊙a）⊙a=8+a，求a的值．

Answer 1

【考点】有理数的混合运算；数轴．

【专题】计算题；新定义．

【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；

（2）①根据数轴上点的位置判断出a+b与a﹣b的正负，利用绝对值的代数意义计算即可得到结果；

②当a⊙b=a⊙c时，不一定有b=c或者b=﹣c，举例即可；

（3）分类讨论a的正负，利用新定义将已知等式化简，即可求出a的值．

【解答】解：（1）根据题中的新定义得：2⊙（﹣3）=|2+（﹣3）|+|2﹣（﹣3）|=1+5=6；

（2）①从a，b在数轴上的位置可得a+b＜0，a﹣b＞0，

∴a⊙b=|a+b|+|a﹣b|=﹣（a+b）+（a﹣b）=﹣2b；

②由a⊙b=a⊙c得：|a+b|+|a﹣b|=|a+c|+|a﹣c|，

不一定有b=c或者b=﹣c，

例如：取a=5，b=4，c=3，则|a+b|+|a﹣b|=|a+c|+|a﹣c|=10，

此时等式成立，但b≠c且b≠﹣c；

（3）当a≥0时，（a⊙a）⊙a=2a⊙a=4a=8+a，

解得：a=；

当a＜0时，（a⊙a）⊙a=（﹣2a）⊙a=﹣4a=8+a，

解得：a=﹣．

【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．