Question

13．如图，CD是△ABC的高，∠ACB=90°，∠DCB=∠ECB，P是AC的中点，PD的延长线交BC的延长线于点F，说明：AC•CE=2PF•CD．

Answer 1

分析 由CD是△ABC的高，得到∠CDE=∠ADC=90°，由于P是AC的中点，根据直角三角形的性质得到PD=AP=PC=$\frac{1}{2}$AC，根据外角的性质得到∠CPD=2∠A，根据已知条件得到∠DCE=2∠DCB=2∠A，推出△PCF∽△CDE，于是得到$\frac{CP}{CD}=\frac{PF}{CE}$，等量代换得到$\frac{1}{2}$AC•CE=PF•CD，于是得到结论．

解答 证明：∵CD是△ABC的高，
∴∠CDE=∠ADC=90°，
∵P是AC的中点，
∴PD=AP=PC=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠A=∠PDA，
∠CPD=2∠A，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=∠DCB，
∵∠DCB=∠ECB，
∴∠DCE=2∠DCB=2∠A，
∴∠CCPF=∠DCE，
∴△PCF∽△CDE，
∴$\frac{CP}{CD}=\frac{PF}{CE}$，
∴CP•CE=PF•CD，
∴$\frac{1}{2}$AC•CE=PF•CD，
∴AC•CE=2PF•CD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．