Question

如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长AN、AM分别交BC于点D、G，根据BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG可知∠BAM=∠BGM故△ABG为等腰三角形，所以BM也为等腰三角形的中线，即AM=GM．同理AN=DN，根据三角形中位线定理即可得出结论．

解答：证明：延长AN、AM分别交BC于点D、G．
∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG，
∴∠BAM=∠BGM，
∴△ABG为等腰三角形，
∴BM也为等腰三角形的中线，即AM=GM．
同理AN=DN，
∴MN为△ADG的中位线，
∴MN∥BC．

点评：本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．