Question

如图，抛物线y=a（x-1）²+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，连接BD、BC，已知点A的坐标为（-1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△BCD的面积．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）把点A的坐标（-1，0）代入y=a（x-1）²+4可求出a的值，进而可求出抛物线的解析式；
（2）根据B、C点的坐标求得直线BC的解析式，则可以求得对称轴与直线BC的交点E的坐标，易求DE的长度；由三角形的面积公式进行解答即可．

解答：解：（1）把点A的坐标为（-1，0）代入y=a（x-1）²+4，得
a（-1-1）²+4=0
解得a=-1．
则该抛物线解析式为：y=-（x-1）²+4；

（2）如图，设直线BC与对称轴交于点E．
∵抛物线的解析式为y=a（x-1）²+4，
∴顶点坐标是（1，4），对称轴为x=1，且C（0，4）．
又∵点A的坐标为（-1，0），
∴B（3，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则

3k+b=0 b=4

，
解得

k=- 4 3 b=4

．
则直线BC的解析式为：y=-

4

3

x+4．
∴

y=- 4 3 x+4 x=1

，
解得

x=1 y= 8 3

，
∴E（1，

8

3

），
∴DE=4-

8

3

=

4

3

．
则△BCD的面积=

1

2

DE•OB=

1

2

×

4

3

×3=2，即△BCD的面积是2．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解答（2）题时，涉及到了待定系数法求一次函数解析式，抛物线的性质以及三角形的面积求法．