Question

如图，四边形ABCD是长方形（长方形对边相等且平行，四个角为直角），
（1）用直尺和圆规在边CD上找一个点P，使△ADP沿着直线AP翻折后D点正好落在BC边上的Q点（不写作法，保留作图痕迹）．连结AP，AQ，PQ
（2）在（1）中作的新图形中，已知AB=5，AD=13，求CP的长．
（3）在（2）的条件下，点M为直线BC上一动点，△PQM为等腰三角形，请直接写出BM的长．

Answer 1

考点：作图—复杂作图,等腰三角形的判定,矩形的性质

专题：

分析：（1）以A为圆心，以AD为半径交BC于点Q，作出∠DAQ的平分线，交CD于点P；
（2）利用△ABQ∽△QCP，根据相似三角形的对应边的比相等求得CP的值；
（3）求得PQ的长，然后利用等腰三角形的定义即可进行讨论求解．

解答：解：（1）点P就是所求的图形；
（2）在直角△ABQ中，BQ=

AQ2-AB2

=

132-52

=12，
则QC=BC-BQ=13-12=1，
∵∠AQP=∠ADC=90°，
∴∠AQB+∠PQC=90°，
又∵直角△ABQ中，∠BAQ+∠AQP=90°，
∴∠PQC=∠BAQ，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABQ∽△QCP，
∴

CP

BQ

=

QC

AB

，即

CP

12

=

1

5

，
解得：CP=

12

5

；
（3）当P是顶角顶点时，M在CQ的延长线上，CM=CQ=1，
则BM=13+1=14；
在直角△PCQ中，PQ=

PC2+CQ2

=

( 12 5 )2+12

=

13

5

，
当Q是等腰三角形的顶角顶点时，QM=PQ=

13

5

，当M在BQ上时，BM=BQ-QM=12-

13

5

=

47

5

；
当Q在BQ的延长线上时，BM=BQ+QM=12+

13

5

=

73

5

；
当M是等腰三角形的顶角顶点时，M在PQ的中垂线上，如图．
PN=

1

2

PQ=

1

2

×

13

5

=

13

10

，
∵∠PQC=∠BAQ，∠B=∠QNM=90°，
∴△ABQ∽△QNM，
∴

QM

AQ

=

QN

AB

，即

QM

13

=

13 10

5

，
解得：QM=

169

50

，
则BM=BQ+QM=12+

169

50

=

769

50

．
总之，BM=14或

47

5

或

73

5

或

769

50

．

点评：本题考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，正确对等腰三角形进行讨论是关键．