【题目】如图,∠MON=90°,点A、B分别在边ON和OM上(∠OAB≠45°).
(1)根据要求,利用尺规作图,补全图形:
第①步:作∠MON的平分线OC,作线段AB的垂直平分线l,OC和l交于点P,第②步:连接PA、PB;
(2)结合补完整的图形,判断PA和PB有什么数量关系和位置关系?并说明理由.
【答案】(1)见详解;(2)AP=BP,AP⊥BP,理由见详解.
【解析】
(1)利用尺规作图的方法,作出∠MON的平分线OC,作线段AB的垂直平分线l,OC和l交于点P,连接PA、PB;
(2)由垂直平分线定理,得到AP=BP;作PD⊥ON与D,PE⊥OM与E,由点P在OC上,则PD=PE,即可证明Rt△ADP≌Rt△BEP,则∠APD=∠BPE,由∠DPE=90°,得到∠APB=90°,然后得到AP⊥BP.
解:(1)如图所示;
(2)AP=BP,AP⊥BP;
理由如下:
∵直线l垂直平分AB,点P在l上,
∴AP=BP;
如上图,作PD⊥ON与D,PE⊥OM与E,
∵点P在∠MON的平分线OC上,
∴PD=PE,
∴Rt△ADP≌Rt△BEP(HL),
∴∠APD=∠BPE;
∵∠MON=90°,PD⊥ON,PE⊥OM,PD=PE,
∴四边形OEPD是正方形;
∴∠DPE=90°,
∴∠APD+∠DPB=∠DPB+∠BPE=∠DPE=90°,
∴∠APB=90°,
∴AP⊥BP.
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【题目】如图,已知,直线分别交
轴
轴于
、
两点,
、
的长满足
,点
是直线
上一点,且
.
求直线
的解析式;
求过点
的反比例函数解析式;
点
在反比例函数图象上是否存在一点
,使以点
、
、
、
为顶点,
为腰的四边形为梯形?若存在,请直接写出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,将△ABC分别沿AB,AC翻折得到△ABD 和△AEC,线段BD与AE交于点 F,连接BE .
(1)如果∠ABC=16,∠ACB=30°,求∠DAE的度数;
(2)如果BD⊥CE,求∠CAB 的度数.
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【题目】建立模型:
如图1,等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,CB=BA,直线ED经过点B,过A作AD⊥ED于D,过C作CE⊥ED于E.则易证△ADB≌△BEC.这个模型我们称之为“一线三垂直”.它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角,所以在平面直角坐标系中被大量使用.
模型应用:
(1)如图2,点A(0,4),点B(3,0),△ABC是等腰直角三角形.
①若∠ABC=90°,且点C在第一象限,求点C的坐标;
②若AB为直角边,求点C的坐标;
(2)如图3,长方形MFNO,O为坐标原点,F的坐标为(8,6),M、N分别在坐标轴上,P是线段NF上动点,设PN=n,已知点G在第一象限,且是直线y=2x一6上的一点,若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出点G的坐标.
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【题目】如图,在Rt△ABO中,∠OBA=90°,AB=OB,点C在边AB上,且C(6,4),点D为OB的中点,点P为边OA上的动点,当∠APC=∠DPO时,点P的坐标为 ____.
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【题目】如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,直角∠MPN的顶点P与点O重合,直角边PM,PN分别与OA,OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM、PN分别交AB、BC于E、F两点,连接EF交OB于点G,则下列结论中正确的是_____.
(1)EF=OE;(2)S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:4;(3)在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,AE=
;(4)OGBD=AE2+CF2.
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【题目】如图,在△ABC中,AB="AC," AB+BC=8.将△ABC折叠,使得点A落在点B处,折痕DF分别与AB、AC交于点D、F,连接BF,则△BCF的周长是( )
A.8B.16C.4D.10
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【题目】如图所示是甲乙两个工程队完成某项工程的进度图,首先是甲独做了10天,然后两队合做,完成剩下的工程.
(1)甲队单独完成这项工程,需要多少天?
(2)求乙队单独完成这项工程需要的天数;
(3)实际完成的时间比甲独做所需的时间提前多少天?
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【题目】如图,点B,F,C,E在同一条直线上,点A,D在直线BE的两侧,AB∥DE,BF=CE,添加一个适当的条件后,仍不能使得△ABC≌△DEF( )
A.AC=DFB.AC∥DFC.∠A=∠DD.AB=DE
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