【题目】如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,直角∠MPN的顶点P与点O重合,直角边PM,PN分别与OA,OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM、PN分别交AB、BC于E、F两点,连接EF交OB于点G,则下列结论中正确的是_____.
(1)EF=OE;(2)S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:4;(3)在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,AE=;(4)OGBD=AE2+CF2.
【答案】(1)(2)(4)
【解析】
(1)由四边形ABCD是正方形,直角∠MPN,易证得△BOE≌△COF(ASA),则可证得结论;(2)由(1)易证得S四边形OEBF=S△BOC=S正方形ABCD,则可证得结论; (3)首先设AE=x,则BE=CF=1﹣x,BF=x,继而表示出△BEF与△COF的面积之和,然后利用二次函数的最值问题,求得答案;(4)易证得△OEG∽△OBE,然后由相似三角形的对应边成比例,证得OGOB=OE2,再利用OB与BD的关系,OE与EF的关系,即可证得结论.
∵四边形ABCD是正方形,
∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,
∴∠BOF+∠COF=90°,
∵∠EOF=90°,
∴∠BOF+∠COE=90°,
∴∠BOE=∠COF,
在△BOE和△COF中,
,
∴△BOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,BE=CF,
∴EF=OE;故(1)正确;
∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD,
∴S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:4;故(2)正确;
过点O作OH⊥BC,
∵BC=1,
∴OH=BC=,
设AE=x,则BE=CF=1-x,BF=x,
∴S△BEF+S△COF=BEBF+CFOH=x(1-x)+(1-x)×=-(x-)2+,
∵a=-<0,
∴当x=时,S△BEF+S△COF最大;
即在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,AE=;故(3)错误;
∵∠EOG=∠BOE,∠OEG=
∴△OEG∽△OBE,
∴OE:OB=OG:OE,
∴OGOB=OE2,
∵OB=BD,OE=EF,
∴OGBD=EF2,
∵在△BEF中,EF2=BE2+BF2,
∴EF2=AE2+CF2,
∴OGBD=AE2+CF2.故(4)正确,
综上所述:(1)(2)(4)正确,
故答案为:(1)(2)(4)
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【题目】如图,点,在反比例函数图象上,轴于点,轴于点,.
(1)求,的值并写出反比例函数的表达式;
(2)连接,是线段上一点,过点作轴的垂线,交反比例函数图象于点,若,求出点的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中有一个3×3的正方形网格,其右下角格点(小正方形的顶点)A的坐标为(﹣1,1),左上角格点B的坐标为(﹣4,4),若分布在过定点(﹣1,0)的直线y=﹣k(x+1)两侧的格点数相同,则k的取值可以是( )
A.B.C.2D.
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【题目】王强与李明两位同学在学习“概率”时,做抛骰子(正方体形状)试验,他们共抛了54次,出现向上点数的次数如下表:
向上点数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
出现次数 | 6 | 9 | 5 | 8 | 16 | 10 |
(1)请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率;
(2)王强说:“根据试验,可知一次试验中出现向上点数为5的概率最大.”李明说:“如果抛540次,那么出现向上点数为6的次数正好是100次.”请判断王强和李明说法的对错.
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【题目】如图,∠MON=90°,点A、B分别在边ON和OM上(∠OAB≠45°).
(1)根据要求,利用尺规作图,补全图形:
第①步:作∠MON的平分线OC,作线段AB的垂直平分线l,OC和l交于点P,第②步:连接PA、PB;
(2)结合补完整的图形,判断PA和PB有什么数量关系和位置关系?并说明理由.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,并且AD是⊙O的直径,C是的中点,AB和DC的延长线交于⊙O外一点E.
求证:(1)∠EBC=∠D;
(2)BC=EC.
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【题目】如图是交警在一个路口统计的某个时段往车辆的车速情况(单位:千米/时).则这些车辆行驶速度的中位数是________、众数是________、平均数是________(结果精确到).
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【题目】如图,三角形纸片ABC中,∠B=2∠C,把三角形纸片沿直线AD折叠,点B落在AC边上的E处,那么下列等式成立的是( )
A.AC=AD+BDB.AC=AB+BDC.AC=AD+CDD.AC=AB+CD
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