【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,并且AD是⊙O的直径,C是的中点,AB和DC的延长线交于⊙O外一点E.
求证:(1)∠EBC=∠D;
(2)BC=EC.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
(1)根据圆内接四边形的性质可知:∠ABC+∠D=180°,而∠ABC+∠EBC=180°,从而可以证明∠EBC=∠D;
(2)连接AC,先根据直径所对的角是直角,圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等得到∠E=∠D,∠EBC=∠E,从而根据等角对等边可证BC=EC.
证明:(1)∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ABC+∠D=180°.
又∵∠ABC+∠EBC=180°,
∴∠EBC=∠D.
(2)如图,连结AC.
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°,
∵C是的中点,∴∠EAC=∠CAD,
而∠EAC与∠E互余,∠CAD与∠D互余,
∴∠E=∠D,由(1)得∠EBC=∠D,
∴∠EBC=∠E,∴BC=EC.
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【题目】下面是圆圆设计的“作等腰三角形一腰上的高线”的尺规作图过程 .
已知:△,.
求作:边上的高线.
作法:如图,
①以点为圆心,为半径画弧,交于点和点;
②分别以点和点为圆心,大于长为半径画弧,两弧相交于点;
③作射线交于点.
所以线段就是所求作的边上的高线.
根据圆圆设计的尺规作图过程,完成下列问题:
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面证明.
证明:∵,
∴点在线段的垂直平分线上(__________) (填推理的依据).
∵__________=__________,
∴点在线段的垂直平分线上.
∴是线段的垂直平分线.
∴⊥.
∴线段就是边上的高线.
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【题目】如图所示,在△ABC中,BE平分∠ABC,DE∥BC.
(1)试猜想△BDE的形状,并说明理由;
(2)若∠A=35°,∠C=70°,求∠BDE的度数.
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【题目】在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点B顺时针旋转α度,得到△A1BC1,A1B交AC于E,A1C1分别交AC、BC于点D、F,下列结论:①∠CDF=α,②A1E=CF,③DF=FC,④AD=CE,⑤A1F=CE.其中一定正确的有
A. ①②④ B. ②③④ C. ①②⑤ D. ③④⑤
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【题目】如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,直角∠MPN的顶点P与点O重合,直角边PM,PN分别与OA,OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM、PN分别交AB、BC于E、F两点,连接EF交OB于点G,则下列结论中正确的是_____.
(1)EF=OE;(2)S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:4;(3)在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,AE=;(4)OGBD=AE2+CF2.
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【题目】如图所示,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下水面宽AB为12米,拱高CD为4米.
(1)求这座拱桥所在圆的半径.
(2)现有一艘宽5米,船舱顶部为正方形并高出水面3.6米的货船要经过这里,此时货船能顺利通过这座拱桥吗?请说明理由.
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【题目】在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干白球,它们除颜色外都相同.在不允许将球倒出来数的前提下,小明为估计其中白球数,采用如下办法:随机从中摸出一球,记下颜色后放回袋中,充分摇匀后,再随机摸出一球,记下颜色,…不断重复上述过程.小明共摸100次,其中20次摸到黑球.根据上述数据,小明估计口袋中白球大约有( )
A. 10个 B. 12 个 C. 15 个 D. 18个
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【题目】如图,在△AOB中,∠O=90°,AO=18cm,BO=30cm,动点M从点A开始沿边AO以1cm/s的速度向终点O移动,动点N从点O开始沿边OB以2cm/s的速度向终点B移动,一个点到达终点时,另一个点也停止运动.如果M、N两点分别从A、O两点同时出发,设运动时间为ts时四边形ABNM的面积为Scm2.
(1)求S关于t的函数关系式,并直接写出t的取值范围;
(2)判断S有最大值还是有最小值,用配方法求出这个值.
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