Question

如图，已知正方形ABCD．
（1）请用直尺和圆规，作出正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到的正方形AB′C′D′（其中B′，C′，D′分别是点B，C，D的像）（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；
（2）设CD与B′C′相交于O点，求证：OD=OB′；
（3）若正方形的边长为，求两个正方形的重叠部分（四边形AB′OD）的面积．

Answer 1

解：（1）                              
（2）连结B′D．
∵正方形AB′C′D′由正方形ABCD旋转得到，∴AD=AB′，∠ADO=∠AB′O=90°，
∴∠ADB′=∠AB′D，∴∠ODB′=∠OB′D，∴OD=OB′．
（3）连结AC．∵正方形ABCD，∴∠CAB=45°．
由题意知∠BAB′=45°，∴∠CAB=∠BAB′，
即B′在AC上，∴△OB′C是等腰直角三角形．
设OD=OB′=x，则OC=．
∵CD=，∴，∴x=1．
∴S_{四边形AB′OD}=S_△ACD-S_△B′CO=．                    

（1）利用旋转的特征即可作出图形；
（2）根据旋转的特征，可得AD=AB′，∠ADO=∠AB′O=90°，根据等边对等角得到∠ADB′=∠AB′D，所以∠ODB′=∠OB′D，再由等角对等边得到OD=OB′．
（3）先说明△OB′C是等腰直角三角形，再根据勾股定理可以求得OB′的长，
所以S_{四边形AB′OD}=S_△ACD-S_△B′CO=