Question

1．设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的圆的圆心O在直线l上运动，A、O两点之间的距离为d．
（1）如图①，当r＜a时，填表：

d，a，r之间的关系	⊙O与正方形的公共点个数
d＞a+r	0
d=a+r	1
a-r＜d＜a+r	2
d=a-r	1
0≤d＜a-r	0

（2）如图②，⊙O与正方形有5个公共点B、C、D、E、F，求此时r与a之间的数量关系．
（3）由（1）可知，d、a、r之间的数量关系和⊙O的与正方形的公共点个数密切相关，当r=a时，请根据d、a、r之间的数量关系，判断⊙O与正方形的公共点个数．
（4）当r与a之间满足（2）中的数量关系，⊙O与正方形的公共点个数为0，1，2，5或8．

Answer 1

分析 （1）当r＜a时，⊙A的直径小于正方形的边长，⊙A与正方形中垂直于直线l的一边相离、相切、相交，三种情况，故可确定⊙O与正方形的交点个数；
（2）如图②，当⊙O与正方形有5个公共点时，连接OC，用a、r表示△COG的各边长，在Rt△OCG中，由勾股定理求a、r的关系；
（3）当r=a时，⊙O的直径等于正方形的边长，此时会出现⊙A与正方形相离，与正方形一边相切，相交，与正方形四边相切，四种情况，故可确定⊙O与正方形的交点个数；
（4）当r与a之间满足（2）中的数量关系，即5a=4r，⊙O与正方形的公共点个数为5个．

解答 解：（1）如图①，

d，a，r之间的关系	⊙O与正方形的公共点个数
d＞a+r	0
d=a+r	1
a-r＜d＜a+r	2
d=a-r	1
0≤d＜a-r	0

所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有2、1、0个；
（2）如图②所示，连接OC．
则OE=OC=r，OG=EG-OE=2a-r．
在Rt△OCG中，由勾股定理得：
OG²+GC²=OC²
即（2a-r）²+a²=r²，
4a²-4ar+r²+a²=r²，
5a²=4ar，
5a=4r；
∴r=$\frac{5}{4}$a，
（3）如图所示：

d、a、r之间关系	公共点的个数
d＞a+r	0
d=a+r	1
a≤d＜a+r	2
d＜a	4

所以，当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个；
（4）由（2）可知当r=$\frac{5}{4}$a时，
∴2r=2.5a＞2a，
∵正方形的边长为2a，
∴正方形的对角线为2$\sqrt{2}$a，
∴2r＜2$\sqrt{2}$a，
∴r＜$\sqrt{2}$a，
⊙O与正方形的公共点个数为0，1，2，5或8个如图所示．
故答案为0，1，2，5或8．

点评 本题是一道较为新颖的几何压轴题．考查圆、相似、正方形等几何知识，综合性较强，有一定的难度，试题的区分度把握非常得当，是一道很不错的压轴题．