Question

【题目】如图△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足为D.

（1）求证：BE=CF;

（2）若AB=8，AC=6，AD=5，求⊙O的半径.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）由圆周角定理得出∠ABE=90°，得出∠BAE+∠BEA=90°，由AF⊥BC得出∠ACD+∠CAD=90°，由圆周角定理得出∠BEA=∠ACD，再由同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，即可得出结论；

（2）证明△ABE∽△ADC，得出对应边成比例，求出直径AE，即可得出结论．

试题解析：（1）证明：∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠BEA=90°，∵AF⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，又∵∠BEA=∠ACD，∴∠BAE=∠CAD，∴BE=CF；

（2）解：∵∠ABE=∠ADC=90°，∠BEA=∠ACD，∴△ABE∽△ADC，∴ ，即 ，解得：AE=，∴半径r=．