Question

如图，在半径为3的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=2时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）利用垂径定理，在直角△OBD中，利用勾股定理即可求解；
（2）连接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点，即ED为三角形ABC的中位线，由OA=OB=2，且∠AOB=90°，利用勾股定理求出AB的长，即可求出ED的长．

解答：解：（1）∵OD⊥BC，
∴BD=

1

2

BC=1，
在直角△OBD中，OD=

OB2-BD2

=

32-12

=2

2

；
（2）连接AB，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D、E分别为BC、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴根据勾股定理得：AB=

OA2+OB2

=3

2

则DE=

1

2

AB=

3 2

2

．

点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，以及三角形的中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关键．