Question

在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，AG⊥EF，垂足为G，求证：AB=AG．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：先根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，则可把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，如图，根据旋转的性质得AQ=AE，∠EAQ=90°，∠ABQ=∠D=90°，则可判断点Q在CB的延长线上，由∠EAF=45°得到∠QAF=90°-∠EAF=45°，然后根据“SAS”判断△AFQ≌△AFE，得到FQ=FE，再根据全等三角形对应边上的高相等得到结论．

解答：证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，如图，
∴AQ=AE，∠EAQ=90°，∠ABQ=∠D=90°，
而∠ABC=90°，
∴点Q在CB的延长线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠QAF=90°-∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠QAF，
在△AFQ和△AFE中，

AF=AF ∠QAF=∠EAF AQ=AE

，
∴△AFQ≌△AFE（SAS），
∴FQ=FE，
∵AB⊥FQ，AG⊥FE，
∴AB=AG．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质．