Question

6．阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形！
小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，是真命题，还是假命题？
（2）在Rt△ABC中，两边长分别是a=5$\sqrt{2}$、c=10，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c的值．

Answer 1

分析 （1）根据题中所给的奇异三角形的定义容易得出结果；
（2）分c是斜边和b是斜边两种情况，再根据勾股定理判断出所给的三角形是否符合奇异三角形的定义；
（3）先根据勾股定理得出Rt△ABC各边之间的关系，再根据此三角形是奇异三角形可用a表示出b、c的值，即可得出结果．

解答 解：（1）设等边三角形的边长为a，
∵a²+a²=2a²，
∴等边三角形一定是奇异三角形，
∴“等边三角形一定是奇异三角形”，是真命题；
（2）①当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；
②当b为斜边时，Rt△ABC是奇异三角形；理由如下：
分两种情况：
①当c为斜边时，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴a=b，
∴a²+c²≠2b²（或b²+c²≠2a²），
∴Rt△ABC不是奇异三角形．
②当b为斜边时，b=$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$=5$\sqrt{6}$，
∵a²+b²=200
∴2c²=200
∴a²+b²=2c²
∴Rt△ABC是奇异三角形．    
（3）在Rt△ABC中，a²+b²=c²，
∵c＞b＞a＞0
∴2c²＞a²+b²，2a²＜b²+c²，
∵Rt△ABC是奇异三角形，
∴a²+c²=2b²，
∴2b²=a²+（a²+b²），
∴b²=2a²，
∴b=$\sqrt{2}$a
∵c²=a²+b²=3a²，
∴c=$\sqrt{3}$a
∴a：b：c=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了奇异三角形的定义、等边三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理，在解答（2）时要注意分类讨论．