Question

（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论．

解答：（1）证明：
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中

∠BDA=∠CEA ∠ABD=∠CAE AB=AC

∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，CE=DA，
∴DE=AE+DA=BD+CE；
（2）解：成立，证明如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，
∴∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ABD和△CAE中

∠BDA=∠CEA ∠ABD=∠CAE AB=AC

∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，CE=DA，
∴DE=AE+DA=BD+CE．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD=AE、CE=AD是解题的关键．