Question

⊙O经过坐标原点，且与x轴交于点A、DC⊥x轴于点C，且与⊙D交于点B，已知⊙D的半径为2

3

，∠ODA=120°．
（1）求B点的坐标；
（2）求经过O、B、A三点的抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△PAO和△OBA相似？若有，求出P点坐标；不存在，说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）根据垂径定理．由DC⊥OA得到OC=AC，再根据等腰三角形的性质由DA=DO，∠ODA=120°得到∠DOC=30°，则可计算出DC=

1

2

OD=

3

，OC=

3

DC=3，所以CB=DB-DC=

3

，于是可得到B点坐标为（3，-

3

）；
（2）由于OC=AC=3，则A点坐标为（6，0），设交点式，利用待定系数法求出经过O、B、A三点的抛物线的解析式；
（3）先证明△DOB和△DAB都是等边三角形，则BO=BA，∠ABO=120°，所以∠BOA=∠BAO=30°，若△PAO和△OBA相似，则∠PAO=∠ABO=120°，∠POA=∠BOA=30°，作PH⊥x轴于H，如图，可计算出∠PAH=60°，在Rt△PAH中利用∠APH=30°，AP=AO=6可计算出AH=

1

2

PA=3，PH=

3

AH=3

3

，则P点坐标为（9，3

3

）
然后利用抛物线的对称性点（-3，3

3

）也满足要求，于是得到满足条件的P点坐标为（9，3

3

）或（-3，3

3

）．

解答：解：（1）∵DC⊥OA，
∴OC=AC，
∵DA=DO，∠ODA=120°，
∴∠DOC=30°，
在Rt△ODC中，∵OD=2

3

，
∴DC=

1

2

OD=

3

，
∴OC=

3

DC=3，
∴CB=DB-DC=2

3

-

3

=

3

，
∴B点坐标为（3，-

3

）；
（2）∵OC=AC=3，
∴A点坐标为（6，0），
设经过O、B、A三点的抛物线的解析式为y=ax（x-6），
把B（3，-

3

）代入得a•3•（3-6）=-

3

，解得a=

3

9

，
∴经过O、B、A三点的抛物线的解析式为y=

3

9

x（x-6）=

3

9

x²-

2 3

3

x；
（3）存在．
∵∠ODB=∠ADB=60°，
∴△DOB和△DAB都是等边三角形，
∴BO=BA，∠ABO=60°+60°=120°，
∴∠BOA=∠BAO=30°，
∵△PAO和△OBA相似，
∴∠PAO=∠ABO=120°，∠POA=∠BOA=30°，
作PH⊥x轴于H，如图，
∵∠PAO=120°，
∴∠PAH=60°，
在Rt△PAH中，∵∠APH=30°，AP=AO=6，
∴AH=

1

2

PA=3，PH=

3

AH=3

3

，
∴P点坐标为（9，3

3

）
点（9，3

3

）关于直线x=3的对称点（-3，3

3

）也满足要求，
∴满足条件的P点坐标为（9，3

3

）或（-3，3

3

）．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求抛物线解析式；记住含30度的直角三角形三边的关系；理解坐标与图形性质．